Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

x − 5
1
=
y + 2
1
=
z − 3
−1
.
Ответ. Норма льная прямая
x − 5
1
=
y + 2
1
=
z − 3
−1
; касательная плоскость
x + y − z = 0.
6.4. Кривая, заданная как пересечение поверхностей
Кривая Γ в пространстве R
3
может быть задана как пересечение двух
поверхностей. Если поверхности S и Σ заданы неявно уравнениями
S F(x, y,z)= 0, Σ G( x, y,z)= 0,
то Γ есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
системе уравнений
F(x, y,z)= 0,
G(x, y,z)= 0.
(8)
Определение. Точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)> Γ называе тся неособой, если век-
торы grad F (M
0
)и grad G (M
0
)не коллинеарны (рис. 4).
Если M
0
— неособая точка кривой, то среди миноров второго порядка
матрицы Якоби
Рис. 4
F
x
F
y
F
z
G
x
G
y
G
z
M
0
есть не равный н улю. Предполо-
жим, что
D (F, G)
D (x, y)
x 0. Тогда на осно-
вании теор емы о системе неявных
функций заключаем, что в некото-
рой окрестности точки M
0
система
уравнений (8) разрешима относи-
тельно переменных x и y, то есть
равносильна системе вида:
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
x = x(z)
y = y(z)
z = z.
(9)
37
                                  x − 5 y+ 2 z − 3
                                       =    =      .
                                    1    1    −1
                                         x−5       y+ 2 z − 3
    Ответ. Нормальная прямая                   =       =      ; касательная плоскость
                             1                      1    −1
x + y − z = 0.


6.4. Кривая, заданная как пересечение поверхностей
   Кривая Γ в пространстве R3 может быть задана как пересечение двух
поверхностей. Если поверхности S и Σ заданы неявно уравнениями

                     S  F(x, y, z) = 0,           Σ  G(x, y, z) = 0,

то Γ есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
системе уравнений

                                       F(x, y, z) = 0,
                                   œ                                             (8)
                                       G(x, y, z) = 0.

   Определение. Точка M0 (x0 , y0 , z0 ) > Γ называется неособой, если век-
торы grad F (M0 ) и grad G (M0 ) не коллинеарны (рис. 4).
   Если M0 — неособая точка кривой, то среди миноров второго порядка
матрицы Якоби
           Fxœ Fyœ Fzœ
        Œ œ             ‘
           Gx Gœy Gzœ M
                              0

есть не равный нулю. Предполо-
          D (F, G)
жим, что          x 0. Тогда на осно-
         D (x, y)
вании теоремы о системе неявных
функций заключаем, что в некото-
рой окрестности точки M0 система
уравнений (8) разрешима относи-
тельно переменных x и y, то есть
равносильна системе вида:
             ¢̈ x = x(z)
             ¨
             ¨
             ¨
                                                                  Рис. 4
             ¦ y = y(z)                 (9)
             ¨
             ¨
             ¨ z = z.
             ¤̈

                                              37

Страницы