Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 38 стр.

UptoLike

Следовательно, локально, в окрестности неос обой точки, кривую Γ мож-
но считать параметрической кривой, z е ё параметр.
Заме тим, что для полученной пар аметрической кривой точка M
0
также
является неосо бой, так как
d
Ñ
r
dz
= (x
z
, y
z
, 1)x 0.
Обратно, параметрическая кривая
Ñ
r (t)= (x (t), y(t), z (t))в окрест-
ности сво ей нео собой точки может быть задана системой вида (8). Дей-
ствительно, из условия
d
Ñ
r (t
0
)
dt
= (x
t
(t
0
), y
t
(t
0
), z
t
(t
0
))x 0
следует, что хотя бы одна из производных отлична от нуля. Пусть, напри-
мер, z
t
(t
0
)x 0. Воспользуемся теоремой об обратной функции, которая
утверждает, что в некоторой окрестности точки z
0
= z (t
0
)определена об-
ратная функция t = t (z), и исключим параметр t из системы (9) парамет-
рических уравнений кривой. Получим равносильную систему вида (8):
x x (t ( z))= 0,
y y(t (z))= 0.
Из сказанного следует, что в окрестности неособой точки рассмотрен-
ные способы задания кривой параметрический и как пер есечение двух
поверхностей равносильны.
Отсюда заключаем, что в неособой точке M
0
кривая, заданная пересе-
чением поверхностей, имеет касательную. Чтобы найти уравнение каса-
тельной прямой, достаточно заметить следующее. Поскольк у кривая рас-
положена и на поверхности S, и на поверхности Σ, то искомая касатель-
ная принадлежит и касательной плоскости к поверхности S в точке M
0
, и
касательной плоскости к поверхности Σ в точке M
0
, то ес ть является пе-
ресечением этих касательных плоскостей. Тогда направляющим вектором
касательной прямой может служить векторное произведение (см. рис. 4)
Ñ
a = [grad F (M
0
), grad G (M
0
)]x 0.
Уравнение касательной к кривой, определяемой системой (8), в неосо-
бой точке имеет вид:
38