Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 40 стр.

UptoLike

Для поверхности, неявно заданной ур авнением F(x, y, z)= 0, за век-
тор нормали
Ð
N в ее неособой точке можно принять grad F(M
0
). Так как
F(x, y, z)= 6x
2
4xy 8xz + 9y
2
4yz + 12z
2
+ 30y 44z 21, то grad F(M
0
)=
= 24
Ñ
i + 48
Ñ
j 16
Ñ
k. Поскольку (
Ð
N ,
Ñ
k)< 0, то в качеств е вектора единичной
нормали следует взять
Ñ
n =
1
U
Ð
NU
Ð
N =
3
7
,
6
7
,
2
7
.
Вычислим
grad u(x, y, z)=
y
2
z
2
( x y)
2
Ñ
i +
x
2
z
2
( x y)
2
Ñ
j+ 2
xyz
x y
Ñ
k,
grad u(M
0
)=
1
4
Ñ
i +
1
4
Ñ
j+
Ñ
k.
Тогда
∂u
Ñ
n
= (grad u(M
0
),
Ñ
n)=
1
28
.
Ответ.
∂u
Ñ
n
(M
0
)=
1
28
.
7. Задания к типовому расчету
Задача 1. Можно ли до определить функцию f(x, y)в точке M
0
(0,0)
так, чтобы она стала в этой точке непрерывной.
1. f(x, y)=
x sin xy
x
2
+ y
2
.
2. f(x, y)= (e
xy
1)cos
1
x
.
3. f(x, y)=
sin xy
x sin y
.
4. f(x, y)= cos(yarcctg
y
x
).
5. f(x, y)=
sin x
y
.
6. f(x, y)=
arctg xy
»
x
2
+ y
2
.
7. f( x, y)=
x
2
sin
1
y
»
x
2
+ y
2
.
8. f(x, y)=
xy
sin( x + y)
.
9. f( x, y)= sin yarctg
1
x
.
10. f(x, y)= arctg
x
2
+ y
2
x
2
y
2
.
11. f(x, y)=
sin xy
SxS+ SyS
.
12. f(x, y)=
1 cos x
2
y
x
4
+ y
2
.
13. f(x, y)=
x sin y
»
x
2
+ y
2
.
14. f(x, y)=
xy
sin(SxS+ SyS)
.
15. f(x, y)= arctg ysin
1
x
.
16. f(x, y)= arctg
x + y
xy
.
17. f(x, y)=
3 +
3
»
y
2
arctg
1
x
2 sin(x
2
+ y
2
)
.
18. f(x, y)=
1 cos xy
x
2
+ y
2
.
40