Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Для поверхности, неявно заданной ур авнением F(x, y, z)= 0, за век-
тор нормали
Ð
N в ее неособой точке можно принять grad F(M
0
). Так как
F(x, y, z)= 6x
2
− 4xy− 8xz + 9y
2
− 4yz + 12z
2
+ 30y− 44z − 21, то grad F(M
0
)=
= −24
Ñ
i + 48
Ñ
j− 16
Ñ
k. Поскольку (
Ð
N ,
Ñ
k)< 0, то в качеств е вектора единичной
нормали следует взять
Ñ
n = −
1
U
Ð
NU
Ð
N =
3
7
, −
6
7
,
2
7
.
Вычислим
grad u(x, y, z)= −
y
2
z
2
( x − y)
2
Ñ
i +
x
2
z
2
( x − y)
2
Ñ
j+ 2
xyz
x − y
Ñ
k,
grad u(M
0
)= −
1
4
Ñ
i +
1
4
Ñ
j+
Ñ
k.
Тогда
∂u
∂
Ñ
n
= (grad u(M
0
),
Ñ
n)= −
1
28
.
Ответ.
∂u
∂
Ñ
n
(M
0
)= −
1
28
.
7. Задания к типовому расчету
Задача 1. Можно ли до определить функцию f(x, y)в точке M
0
(0,0)
так, чтобы она стала в этой точке непрерывной.
1. f(x, y)=
x sin xy
x
2
+ y
2
.
2. f(x, y)= (e
xy
− 1)cos
1
x
.
3. f(x, y)=
sin xy
x sin y
.
4. f(x, y)= cos(yarcctg
y
x
).
5. f(x, y)=
sin x
y
.
6. f(x, y)=
arctg xy
»
x
2
+ y
2
.
7. f( x, y)=
x
2
sin
1
y
»
x
2
+ y
2
.
8. f(x, y)=
xy
sin( x + y)
.
9. f( x, y)= sin yarctg
1
x
.
10. f(x, y)= arctg
x
2
+ y
2
x
2
y
2
.
11. f(x, y)=
sin xy
SxS+ SyS
.
12. f(x, y)=
1 − cos x
2
y
x
4
+ y
2
.
13. f(x, y)=
x sin y
»
x
2
+ y
2
.
14. f(x, y)=
xy
sin(SxS+ SyS)
.
15. f(x, y)= arctg ysin
1
x
.
16. f(x, y)= arctg
x + y
xy
.
17. f(x, y)=
3 +
3
»
y
2
arctg
1
x
2 − sin(x
2
+ y
2
)
.
18. f(x, y)=
1 − cos xy
x
2
+ y
2
.
40
   Для поверхности, неявно заданной уравнением F(x, y, z) = 0, за век-
тор нормали N в ее неособой точке можно принять grad F(M0 ). Так как
                 Ð
F(x, y, z) = 6x2 − 4xy− 8xz + 9y2 − 4yz + 12z2 + 30y− 44z − 21, то grad F(M0 ) =
= −24 Ñi + 48 Ñj− 16Ñk. Поскольку ( N , Ñk) < 0, то в качестве вектора единичной
                                   Ð

                            Ñ = − Ð N = Š , − , .
                                  1 Ð       3 6 2
нормали следует взять n
                                        UNU        7    7 7
   Вычислим
                                        y2 z2 Ñ        x2 z2 Ñ      xyz Ñ
                  grad u(x, y, z) = −           i              j+ 2     k,
                                      (x − y)        (x − y)
                                              2
                                                   +         2      x−y
                               grad u(M0 ) = − Ñi + Ñj+ Ñk.
                                                 1     1
                                                4      4

                           Ñ) = − .
   Тогда Ñ = (grad u(M0 ), n
          ∂u                                  1
        ∂n                       28
                  (M  )
               ∂u            1
   Ответ.       Ñ   0   = −    .
               ∂n           28

7. Задания к типовому расчету
   Задача 1. Можно ли доопределить функцию f(x, y) в точке M0 (0, 0)
так, чтобы она стала в этой точке непрерывной.
                  x sin xy                                                   x2 + y2
   1. f(x, y) =            .                           10. f(x, y) = arctg           .
                  x2 + y2                                                      x2 y2

   2. f(x, y) = (exy − 1) cos .
                                    1                                 sin xy
                                                       11. f(x, y) =           .
                                    x                                SxS + SyS
                  sin xy                                               1 − cos x2 y
   3. f(x, y) =           .                            12. f(x, y) =                .
                  x sin y                                                x4 + y2
   4. f(x, y) = cos(yarcctg ).
                                    y                                    x sin y
                                    x                  13.   f(x, y) = » 2 2 .
                                                                          x +y
                sin x
   5. f(x, y) =       .                                                      xy
                  y                                    14.   f(x, y) =                  .
                                                                       sin(SxS + SyS)
                 arctg xy
   6. f(x, y) = » 2 2 .                                                                 1
                   x +y                                15.   f(x, y) = arctg ysin .
                                                                                       x
                          1                                                    x+y
                 x2 sin                                16.   f(x, y) = arctg          .
   7. f(x, y) = » 2 2 .
                        y
                                                                                xy
                   x +y                                                     »             1
                                                                       3 + 3 y2 arctg
                    xy                                                                    x
                                                       17. f(x, y) =                          .
   8. f(x, y) =
                sin(x + y)
                           .                                        2 − sin(x2 + y2 )
                                1                                   1 − cos xy
   9. f(x, y) = sin yarctg .                           18. f(x, y) = 2 2 .
                                x                                     x +y

                                                  40

Страницы