Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 39 стр.

UptoLike

x x
0
W
F
y
F
z
G
y
G
z
W
M
0
=
y y
0
W
F
z
F
x
G
z
G
x
W
M
0
=
z z
0
W
F
x
F
y
G
x
G
y
W
M
0
, (10)
а уравнение нормальной плоскости:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x x
0
y y
0
z z
0
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
) F
y
(x
0
, y
0
, z
0
) F
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
G
x
(x
0
, y
0
, z
0
) G
y
(x
0
, y
0
, z
0
) G
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0. (11)
Пример 19. Написать уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости в точке M
0
(1,2, 3)к кривой, заданной как пересечение двух по-
верхностей S x
2
6xy+ y
2
+ 3z 2 = 0 и Σ 4x
2
+ y
2
4
º
z + 1 = 0.
Решение. Для задающих поверхности функций F(x, y, z)= x
2
6xy+
+ y
2
+ 3z 2 и G(x, y, z)= 4x
2
+ y
2
4
º
z + 1 имеем
grad F(M
0
)= (10, 2, 3) и grad G(M
0
)= (8,4, 1),
и
Ñ
a может быть найден как их векторное произведение:
Ñ
a = [grad F,grad G]= (10,14, 24)x 0.
Следовательно, точка M
0
неособая точка кривой. Применяя форму-
лы (10) и (11), получим уравнения касательной прямой и нормальной пло с-
кости:
x 1
5
=
y 2
7
=
z 3
12
,
5(x 1) 7(y 2)+ 12(z 3)= 0.
Ответ. Касательная прямая
x 1
5
=
y 2
7
=
z 3
12
; нормальная плоскость
5x 7y + 12z 27 = 0.
Пример 20. Найти производную функции u(x, y, z)=
xyz
2
x y
по направ-
лению вектора нормали
Ð
N к поверхности S 6x
2
4xy 8xz + 9y
2
4yz +
+12z
2
+3 0y44z21 = 0 в точке M
0
(1,1, 1), если вектор
Ð
N образует острый
угол с осью Oz.
Решение. Производная дифференцируемой функции u = u(x, y, z)в
точке M
0
(x
0
,y
0
, z
0
)по направлению вектора
Ð
N может быть вычислена по
формуле
∂u
Ð
N
(M
0
)= grad u( M
0
),
1
S
Ð
NS
Ð
N, (см. (1), стр. 13).
39