Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

x − x
0
W
F
y
F
z
G
y
G
z
W
M
0
=
y − y
0
W
F
z
F
x
G
z
G
x
W
M
0
=
z − z
0
W
F
x
F
y
G
x
G
y
W
M
0
, (10)
а уравнение нормальной плоскости:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x − x
0
y − y
0
z − z
0
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
) F
y
(x
0
, y
0
, z
0
) F
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
G
x
(x
0
, y
0
, z
0
) G
y
(x
0
, y
0
, z
0
) G
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0. (11)
Пример 19. Написать уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости в точке M
0
(1,2, 3)к кривой, заданной как пересечение двух по-
верхностей S x
2
− 6xy+ y
2
+ 3z − 2 = 0 и Σ 4x
2
+ y
2
− 4
º
z + 1 = 0.
Решение. Для задающих поверхности функций F(x, y, z)= x
2
− 6xy+
+ y
2
+ 3z − 2 и G(x, y, z)= 4x
2
+ y
2
− 4
º
z + 1 имеем
grad F(M
0
)= (−10, −2, 3) и grad G(M
0
)= (8,4, −1),
и
Ñ
a может быть найден как их векторное произведение:
Ñ
a = [grad F,grad G]= (−10,14, −24)x 0.
Следовательно, точка M
0
— неособая точка кривой. Применяя форму-
лы (10) и (11), получим уравнения касательной прямой и нормальной пло с-
кости:
x − 1
5
=
y − 2
−7
=
z − 3
12
,
5(x − 1)− 7(y − 2)+ 12(z − 3)= 0.
Ответ. Касательная прямая
x − 1
5
=
y − 2
−7
=
z − 3
12
; нормальная плоскость
5x − 7y + 12z − 27 = 0.
Пример 20. Найти производную функции u(x, y, z)=
xyz
2
x − y
по направ-
лению вектора нормали
Ð
N к поверхности S 6x
2
− 4xy − 8xz + 9y
2
− 4yz +
+12z
2
+3 0y−44z−21 = 0 в точке M
0
(−1,1, 1), если вектор
Ð
N образует острый
угол с осью Oz.
Решение. Производная дифференцируемой функции u = u(x, y, z)в
точке M
0
(x
0
,y
0
, z
0
)по направлению вектора
Ð
N может быть вычислена по
формуле
∂u
∂
Ð
N
(M
0
)= grad u( M
0
),
1
S
Ð
NS
Ð
N, (см. (1), стр. 13).
39
                                                                                                 (10)
                       x − x0         y− y         z−z
                                   = œ 0œ       = œ 0œ      ,
                      Fy Fz          Fz Fx        Fx Fy
                     W œ       W    W œ     W    W œ    W
                        œ    œ

                      Gy Gzœ M       Gz Gxœ M     Gx Gœy M
                                 0            0           0


а уравнение нормальной плоскости:
               RRR                                                                     RRR
                 RRR         x − x0             y − y0              z − z0               R
                   RRR Fxœ (x0 , y0 , z0 ) Fyœ (x0 , y0 , z0 ) Fzœ (x0 , y0 , z0 ) RRRRR = 0.    (11)
                     RRR œ                                                               R
                       RRGx (x0 , y0 , z0 ) Gœy(x0 , y0 , z0 ) Gzœ (x0 , y0 , z0 )RRRR
   Пример 19. Написать уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости в точке M0 (1, 2, 3) к кривой, заданной как пересечение
                                                        º             двух по-
                 2           2                   2   2
верхностей S x − 6xy + y + 3z − 2 = 0 и Σ 4x + y − 4 z + 1 = 0.
   Решение. Для задающих поверхности     º      функций F(x, y, z) = x2 − 6xy+
+ y2 + 3z − 2 и G(x, y, z) = 4x2 + y2 − 4 z + 1 имеем

          grad F(M0 ) = (−10, −2, 3)                  и     grad G(M0 ) = (8, 4, −1),

и aÑ может быть найден как их векторное произведение:

                      aÑ = [grad F, grad G] = (−10, 14, −24) x 0.

   Следовательно, точка M0 — неособая точка кривой. Применяя форму-
лы (10) и (11), получим уравнения касательной прямой и нормальной плос-
кости:
                                       x − 1 y− 2 z − 3
                                            =    =      ,
                                         5    −7   12
                           5(x − 1) − 7(y − 2) + 12(z − 3) = 0.
                                                x−1       y− 2       z−3
   Ответ. Касательная прямая   =    =    ; нормальная плоскость
                             5   −7   12
5x − 7y + 12z − 27 = 0.
                                                                                          xyz2
   Пример 20. Найти производную функции u(x, y, z) =            по направ-
                                                            x−y
                             Ð
лению вектора нормали N к поверхности S 6x2 − 4xy − 8xz + 9y2 − 4yz +
+12z2 +30y−44z−21 = 0 в точке M0 (−1, 1, 1), если вектор N образует острый
                                                         Ð
угол с осью Oz.
   Решение. Производная дифференцируемой функции u = u(x, y, z) в
точке M0 (x0 ,y0 , z0 ) по направлению вектора N может быть вычислена по
                                               Ð

формуле Ð (M0 ) = Œgrad u(M0 ), Ð N ‘, (см. (1), стр. 13).
          ∂u                         1 Ð
          ∂N                                    SNS

                                                    39

Страницы