Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 41 стр.

UptoLike

19. f(x, y)=
sin xy
x
2
+ y
2
.
20. f(x, y)=
e
xy
1
x
2
+ y
2
.
21. f(x, y)=
arctg xy
arctg
1
xy
.
22. f(x, y)= cos
xy
SxS+ SyS
.
23. f(x, y)= (1 + x)
1~y
.
24. f(x, y)=
e
xy
1
SxS+ SyS
.
25. f(x, y)= sin
x
6
+ y
6
x
4
+ y
4
.
26. f(x, y)= cos
x
2
y
2
x
2
+ y
2
.
27. f(x, y)=
x
2
+ y
2
ln(1 + xy)
.
28. f(x, y)=
x
2
y
3
2 + ysin
1
x
.
29. f(x, y)=
ysin x
x sin y
.
30. f(x, y)= arctg
x
2
+ y
2
x
2
y
2
.
Задача 2. Найти частные производные первого порядка функции
f(x, y)в точке M
0
(x
0
, y
0
)и исследовать функцию на дифференцируемость
в этой точке.
1. f(x, y)= cos 1 + 2
»
SxyS, M
0
(0, 0).
2. f(x, y)=
1
2 +
3
»
x
2
y
2
, M
0
(0, 0).
3. f(x, y)=
3
º
ysin
3
»
x
2
y, M
0
(0, 0).
4. f(x, y)= x +
»
Sx 1Sċ (y + 3), M
0
(1, 3).
5. f(x, y)= ln
2 +
3
»
x
3
+ y
3
, M
0
(0, 0).
6. f(x, y)= SxSarcsin
»
Sy+ 1S, M
0
(0, 1).
7. f(x, y)=
y
1 + x
3
º
y 1
, M
0
(0, 1).
8. f(x, y)=
¢
¨
¨
¦
¨
¨
¤
xysin
2
x
+
3
y
, если xy x 0,
0, если xy = 0,
M
0
(0, 0).
9. f(x, y)=
¢
¨
¨
¦
¨
¨
¤
x
5
y
5
x
4
+ y
4
, если x
2
+ y
2
x 0,
0, если x
2
+ y
2
= 0,
M
0
(0, 0).
10. f(x, y)= cos
3
»
x(y 1)
2
, M
0
(0, 1).
11. f(x, y)= y +
»
S(x + 2)(y 1)S, M
0
(2, 1).
12. f(x, y)=
1
1 + S(x + 1)(y + 1)S
, M
0
(1, 1).
41
                  sin xy                                                          x6 + y6
  19. f(x, y) =           .                                   25. f(x, y) = sin           .
                  x2 + y2                                                         x4 + y4
                  exy − 1                                                          x2 − y2
 20. f(x, y) =            .                                   26. f(x, y) = cos            .
                  x2 + y2                                                          x2 + y2
                  arctg xy                                                    x2 + y2
  21. f(x, y) =                                               27. f(x, y) =            .
                            1 .                                             ln(1 + xy)
                  arctg
                           xy
                                                                                 x2 y3
                      xy                                      28. f(x, y) =               1.
 22. f(x, y) = cos           .                                                2 + ysin
                   SxS + SyS                                                              x
                                                                              ysin x
 23. f(x, y) = (1 + x)1~y.                                    29. f(x, y) =
                                                                              x sin y
                                                                                      .
                   exy − 1                                                           x2 + y2
 24. f(x, y) =              .                                 30. f(x, y) = arctg            .
                  SxS + SyS                                                           x2 y2

    Задача 2. Найти частные производные первого порядка функции
f(x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) и исследовать функцию на дифференцируемость
в этой точке.
                           »
    1. f(x, y) = cos Š1 + 2 SxyS , M0 (0, 0).

                                            M0 (0, 0).
                        1
  2. f(x, y) =         »            ,
                  2+   3
                            x2 y2
                  º     »
  3. f(x, y) =    ysin 3 x2 y, M0 (0, 0).
                  3

                    »
  4. f(x, y) = x + Sx − 1S ċ (y + 3), M0 (1, −3).
                       »
  5. f(x, y) = ln ‰2 + 3 x3 + y3 Ž , M0 (0, 0).
                         »
  6. f(x, y) = SxS arcsin Sy + 1S, M0 (0, −1).
                                            M0 (0, 1).
                        y
   7. f(x, y) =         º               ,
                  1 + x y− 1
                        3


               ¢̈
               ¨      xysin ‹ +  , если xy x 0,
                                        2    3
  8. f(x, y) = ¦                                                        M0 (0, 0).
               ¨
                                        x    y
               ¤̈     0,                           если xy = 0,
               ¢̈
               ¨
                      x5 − y5
                              , если x2 + y2 x 0,
  9. f(x, y) = ¦      x4 + y4                M0 (0, 0).
               ¨
               ¤̈ 0,       если x2 + y2 = 0,
                   »
  10. f(x, y) = cos 3 x(y − 1)2 , M0 (0, 1).
                    »
  11. f(x, y) = y + S(x + 2)(y − 1)S, M0 (−2, 1).
                                                  M0 (−1, −1).
                            1
  12. f(x, y) =                        ,
                  1 + S(x + 1)(y + 1)S

                                                         41