Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Задача 3. Для отображений F R
3
R
2
и G R
2
R
3
найти мат-
рицы Якоби композиции Φ
Φ
Φ = F X G в точке M
0
(u
0
,v
0
)непосредственно и
композиции Ψ
Ψ
Ψ = G X F в точке N
0
(x
0
, y
0
, z
0
)— с помощью теоремы о диф-
ференцировании композиции.
1. F(x, y, z)= (3 x − 5 y − 3 z, 2 xy − 5 z
2
),
G(u, v)= (arctg (u + v), cos v, − arctg (−u + v));
M
0
(−3, 3), N
0
(5, 2, −3).
2. F(x, y, z)= (xyz
2
, 5 x − 4 y − 2 z),
G(u, v)= (arctg (u + v), cos u, e
u−v
);
M
0
(−3, 5), N
0
(2, 2, 5).
3. F(x, y, z)= (4 x − 3 y + 4 z, x
2
yz),
G(u, v)= (cos (−u + v), sin (u + v), ln (u
2
+ 1));
M
0
(4, 2), N
0
(3, 4, 4).
4. F(x, y, z)= (2 x + 5 y + 4 z, 4 x
2
+ 5 yz),
G(u, v)= (e
u
, cos (u + v), − sin (−u + v));
M
0
(5, −4), N
0
(−3, −3, 2).
5. F(x, y, z)= (3 xy − 5 z
2
, 5 x + 5 y + 2 z),
G(u, v)= (
º
v
2
+ 1, arctg (u + v), cos (−u + v));
M
0
(2, 4), N
0
(−3, 3, 2).
6. F(x, y, z)= (4 xy + 5 z
2
, 5 x + 2 y + 5 z),
G(u, v)= (sin (u + v), − arctg (−u + v), ln (v
2
+ 1));
M
0
(−3, −2), N
0
(5, 5, −2).
7. F(x, y, z)= (2 x + 2 y + 2 z, 4 xy + 4 z
2
),
G(u, v)= (e
u−v
,
º
u
2
+ 1, e
u+v
);
M
0
(−5, −5), N
0
(4, 4, −5).
8. F(x, y, z)= (2 x
2
− 3 yz, 5 x + 4 y + 2 z),
G(u, v)= (sin (u + v), − arctg (−u + v), cos u);
M
0
(3, 3), N
0
(−5, −5, −4).
9. F(x, y, z)= (3 x + 5 y − 4 z, xy
2
z),
G(u, v)= (sin (u + v), cos u, − arctg (−u + v));
M
0
(5, −3), N
0
(−5, −5, −5).
10. F(x, y, z)= (5 x + 4 y− 5 z, x
2
yz),
G(u, v)= (arctg (u + v), arctg v, − sin (−u + v));
M
0
(4, −3), N
0
(−5, −3, −5).
43
   Задача 3. Для отображений F  R3             R2 и G  R2 R3 найти мат-
рицы Якоби композиции Φ = F X G в точке M0 (u0 , v0 ) непосредственно и
композиции Ψ = G X F в точке N0 (x0 , y0 , z0 ) — с помощью теоремы о диф-
ференцировании композиции.

   1. F(x, y, z) = (3 x − 5 y − 3 z, 2 xy − 5 z2 ),
      G(u, v) = (arctg (u + v) , cos v, − arctg (−u + v));
      M0 (−3, 3), N0 (5, 2, −3).
  2. F(x, y, z) = (xyz2 , 5 x − 4 y − 2 z),
     G(u, v) = (arctg (u + v) , cos u, eu−v );
     M0 (−3, 5), N0 (2, 2, 5).
   3. F(x, y, z) = (4 x − 3 y + 4 z, x2 yz),
      G(u, v) = (cos (−u + v) , sin (u + v) , ln (u2 + 1));
      M0 (4, 2), N0 (3, 4, 4).
  4. F(x, y, z) = (2 x + 5 y + 4 z, 4 x2 + 5 yz),
     G(u, v) = (eu , cos (u + v) , − sin (−u + v));
     M0 (5, −4), N0 (−3, −3, 2).
                 (3 xy − 5 z2 , 5 x + 5 y + 2 z),
  5. F(x, y, z) =º
     G(u, v) = ( v2 + 1, arctg (u + v) , cos (−u + v));
     M0 (2, 4), N0 (−3, 3, 2).
  6. F(x, y, z) = (4 xy + 5 z2 , 5 x + 2 y + 5 z),
     G(u, v) = (sin (u + v) , − arctg (−u + v) , ln (v2 + 1));
     M0 (−3, −2), N0 (5, 5, −2).
   7. F(x, y, z) = (2 x º
                        + 2 y + 2 z, 4 xy + 4 z2 ),
      G(u, v) = (eu−v , u2 + 1, eu+v );
      M0 (−5, −5), N0 (4, 4, −5).
  8. F(x, y, z) = (2 x2 − 3 yz, 5 x + 4 y + 2 z),
     G(u, v) = (sin (u + v) , − arctg (−u + v) , cos u);
     M0 (3, 3), N0 (−5, −5, −4).
   9. F(x, y, z) = (3 x + 5 y − 4 z, xy2 z),
      G(u, v) = (sin (u + v) , cos u, − arctg (−u + v));
      M0 (5, −3), N0 (−5, −5, −5).
  10. F(x, y, z) = (5 x + 4 y − 5 z, x2 yz),
      G(u, v) = (arctg (u + v) , arctg v, − sin (−u + v));
      M0 (4, −3), N0 (−5, −3, −5).

                                          43

Страницы