Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 29 стр.

UptoLike

d
2
L(r
0
, h
0
, λ
0
)=
2
L
∂r
2
dr
2
+ 2
2
L
∂r∂h
dr dh +
2
L
∂h
2
dh
2
W
(r
0
,h
0
0
)
= 12π dr
2
A 0,
откуда следует, что полученная точка доставляет условный локальный ми-
нимум.
Ответ. r =
2
º
3
3
, h =
4
º
3
3
.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x)в
ограниченной замкнутой области D R
n
достигаются в ее точках. До-
стигаться они могут или во внутренних точках D, или в граничных. Ес-
ли f(x)дифференцируема во внутренних точках D, то внутренние точки
максимума и миниму ма будут критическими для f(x). Граничные точки
максимума и минимума f(x)будут точками условного экстремума.
Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
u(x, y)= 7x
2
+ 6xy+ y
2
26x + 2y 2 в треугольнике QABC, где A(4,1),
B(4,4), C(2, 3).
Решение. Из всех значений, принимаемых фу нкцией на границе об-
ласти, найдем наибольшее и наименьшее значения. Граница треугольника
сос тоит из трех отрезков:
BC y
1
=
1
6
x +
10
3
, 2 D x D 4; u
1
(x)= u(x, y
1
(x))=
215
36
x
2
41
9
x +
142
9
,
u
1
(x)=
215
18
x
41
9
, u
1
(x)= 0 при x =
82
215
> [2,4];
u
1
(2)= 1, u
1
(4)= 98, u
1
(
82
215
)=
3579
215
;
min
(x,y)>BC
u(x, y)= u(4, 4)= 98, max
(x,y)>BC
u(x, y)= u(
82
215
,
703
215
)=
3579
215
;
CA y
2
= 2x + 7, 4 D x D 2; u
2
(x)= u(x, y
2
(x))= 9x
2
+ 48x + 61,
u
2
(x)= 18x + 48, u
2
(x)= 0 при x =
8
3
> [4,2];
u
2
(4)= 13, u
2
(2)= 1, u
2
(
8
3
)= 3;
min
(x,y)>CA
u(x, y)= u(
8
3
,
5
3
)= 3, max
(x,y)>CA
u(x, y)= u(4, 1)= 13;
AB y
3
=
5
8
x +
3
2
, 4 D x D 4; u
3
(x)= u(x, y
3
(x))=
183
64
x
2
111
8
x +
13
4
,
u
3
(x)=
183
32
x
111
8
, u
3
(x)= 0 при x =
148
61
> [4,4];
u
3
(4)= 13, u
3
(4)= 98, u
3
(
148
61
)=
1225
61
;
min
(x,y)>AB
u(x, y)= u(4, 4)= 98, max
(x,y)>AB
u(x, y)= u(
148
61
,
1
61
)=
1225
61
.
Критические точки функции находим из системы уравнений
29