Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

d
2
L(r
0
, h
0
, λ
0
)=
∂
2
L
∂r
2
dr
2
+ 2
∂
2
L
∂r∂h
dr dh +
∂
2
L
∂h
2
dh
2
W
(r
0
,h
0
,λ
0
)
= 12π dr
2
A 0,
откуда следует, что полученная точка доставляет условный локальный ми-
нимум.
Ответ. r =
2
º
3
3
, h =
4
º
3
3
.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x)в
ограниченной замкнутой области D ⊂ R
n
достигаются в ее точках. До-
стигаться они могут или во внутренних точках D, или в граничных. Ес-
ли f(x)дифференцируема во внутренних точках D, то внутренние точки
максимума и миниму ма будут критическими для f(x). Граничные точки
максимума и минимума f(x)будут точками условного экстремума.
Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
u(x, y)= −7x
2
+ 6xy+ y
2
− 26x + 2y− 2 в треугольнике QABC, где A(−4,−1),
B(4,4), C(−2, 3).
Решение. Из всех значений, принимаемых фу нкцией на границе об-
ласти, найдем наибольшее и наименьшее значения. Граница треугольника
сос тоит из трех отрезков:
BC y
1
=
1
6
x +
10
3
, −2 D x D 4; u
1
(x)= u(x, y
1
(x))= −
215
36
x
2
−
41
9
x +
142
9
,
u
1
(x)= −
215
18
x −
41
9
, u
1
(x)= 0 при x = −
82
215
> [−2,4];
u
1
(−2)= 1, u
1
(4)= −98, u
1
(−
82
215
)=
3579
215
;
min
(x,y)>BC
u(x, y)= u(4, 4)= −98, max
(x,y)>BC
u(x, y)= u(−
82
215
,
703
215
)=
3579
215
;
CA y
2
= 2x + 7, −4 D x D −2; u
2
(x)= u(x, y
2
(x))= 9x
2
+ 48x + 61,
u
2
(x)= 18x + 48, u
2
(x)= 0 при x = −
8
3
> [−4,−2];
u
2
(−4)= 13, u
2
(−2)= 1, u
2
(−
8
3
)= −3;
min
(x,y)>CA
u(x, y)= u(−
8
3
,
5
3
)= −3, max
(x,y)>CA
u(x, y)= u(−4, −1)= 13;
AB y
3
=
5
8
x +
3
2
, −4 D x D 4; u
3
(x)= u(x, y
3
(x))= −
183
64
x
2
−
111
8
x +
13
4
,
u
3
(x)= −
183
32
x −
111
8
, u
3
(x)= 0 при x = −
148
61
> [−4,4];
u
3
(−4)= 13, u
3
(4)= −98, u
3
(−
148
61
)=
1225
61
;
min
(x,y)>AB
u(x, y)= u(4, 4)= −98, max
(x,y)>AB
u(x, y)= u(−
148
61
, −
1
61
)=
1225
61
.
Критические точки функции находим из системы уравнений
29
    d2 L(r0 , h0 , λ0 ) =                                dh W
                            ∂2 L 2      ∂2 L         ∂2 L 2
                                dr + 2       dr dh +                            = 12π dr2 A 0,
                            ∂r2        ∂r∂h          ∂h2
                                                                (r0 ,h0 ,λ0 )

откуда следует, что полученная точка доставляет условный локальный ми-
нимум.
                    º        º
                   2 3      4 3
   Ответ.       r=     , h=     .
                    3        3
   Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) в
ограниченной замкнутой области D ⊂ Rn достигаются в ее точках. До-
стигаться они могут или во внутренних точках D, или в граничных. Ес-
ли f(x) дифференцируема во внутренних точках D, то внутренние точки
максимума и минимума будут критическими для f(x). Граничные точки
максимума и минимума f(x) будут точками условного экстремума.
   Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
u(x, y) = −7x2 + 6xy+ y2 − 26x + 2y− 2 в треугольнике QABC, где A(−4, −1),
B(4, 4), C(−2, 3).
   Решение. Из всех значений, принимаемых функцией на границе об-
ласти, найдем наибольшее и наименьшее значения. Граница треугольника
состоит из трех отрезков:

 BC      y1 = 61 x + 103 , −2 D x D 4; u1 (x) = u(x, y1 (x)) = − 215        2    41
                                                                        36 x − 9 x + 9 ,
                                                                                           142

              u1œ (x) = − 215      41
                            18 x − 9 , u1œ (x) = 0 при x = − 215
                                                              82
                                                                 > [−2, 4];
                     u1 (−2) = 1, u1 (4) = −98, u1 (− 215 82
                                                             ) = 3579
                                                                  215 ;
        min u(x, y) = u(4, 4) = −98,           max u(x, y) = u(− 215     , 215 ) = 3579
                                                                     82 703
                                                                                     215 ;
    (x,y)>BC                                   (x,y)>BC

 CA       y2 = 2x + 7, −4 D x D −2; u2 (x) = u(x, y2 (x)) = 9x2 + 48x + 61,
              u2œ (x) = 18x + 48, u2œ (x) = 0 при x = − 83 > [−4, −2];
                     u2 (−4) = 13, u2 (−2) = 1, u2 (− 83 ) = −3;
          min u(x, y) = u(− 83 , 53 ) = −3, max u(x, y) = u(−4, −1) = 13;
        (x,y)>CA                                   (x,y)>CA

 AB      y3 = 85 x + 23 , −4 D x D 4; u3 (x) = u(x, y3 (x)) = − 183       2   111
                                                                      64 x − 8 x + 4 ,
                                                                                       13

             u3œ (x) = − 183      111
                           32 x − 8 ,                        61 > [−4, 4];
                                      u3œ (x) = 0 при x = − 148
                   u3 (−4) = 13, u3 (4) = −98, u3 (− 148  61 ) = 61 ;
                                                                 1225

                                             max u(x, y) = u(− 148 61 , − 61 ) = 61 .
                                                                           1      1225
        min u(x, y) = u(4, 4) = −98,
    (x,y)>AB                                   (x,y)>AB

   Критические точки функции находим из системы уравнений

                                              29

Страницы