Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 27 стр.

UptoLike

равен m, то ес ть точка x
0
не является особой для «поверхности», заданной
уравнениями связи (7). Составим функцию Лагранжа
L(x, λ)= L(x
1
, . . . , x
n
, λ
1
, . . . , λ
m
)= f(x)+
m
Q
i=1
λ
i
g
i
(x).
Точка x
0
может быть точкой условного экстремума только в том случае,
когда существует набор чисел λ
0
1
, . . . , λ
0
m
такой, что точка (x
0
1
, . . . ,x
0
n
0
1
, . . .
0
m
)
является критической точкой для функции Лагранжа L(x, λ). С ами числа
λ
0
1
, . . . , λ
0
m
называются множителями Лагранжа для точки x
0
.
Если функции f и g
1
, . . . , g
m
дважды непрерывно дифференцируемы в
точке x
0
, то характер этой точки можно уточнить, исследовав на знако-
определенность квадратичную форму второго дифференциала d
2
L(x
0
, λ
0
),
в которой после дифференцирования уравнений связи (7) и получения за-
висимостей между dx
1
, . . . , dx
n
«лишние» дифференциа лы исключены.
Пример 13. Исследовать функцию f(x, y)= 7x 9y 3 на экстремум
при условии 4 x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x 4y + 5 = 0.
Решение. Составим функцию Лагранжа
L(x, y, λ)= 7x 9y 3 + λ(4x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x 4y + 5)
и ищем ее критические точки.
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
∂L
∂x
= 7 8λx + 4λy+ 2λ = 0,
∂L
y
= 9 + 4λx + 6λy 4λ = 0 ,
∂L
λ
= 4x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x 4y + 5 = 0.
Система имеет два решения: x
1
=
23
8
, y
1
=
7
4
, λ
1
=
1
2
и x
2
= 2, y
2
= 1,
λ
2
=
1
2
. На кривой
3
, задаваемой условием 4x
2
+ 4xy+ 3y
2
+ 2x 4y+ 5 = 0,
дифференциа лы dx и dy связаны соотношением, которое можно найти,
дифференцируя уравнение связи: (8x + 4y + 2) dx + (4x + 6y 4)dy = 0.
Подставляя в полученное равенство x
1
=
23
8
, y
1
=
7
4
, находим, что в первой
точке dy =
7
9
dx. Далее
3
В данном случае это гипербола.
27