Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 27 стр.

равен m, то есть точка x0 не является особой для «поверхности», заданной
уравнениями связи (7). Составим функцию Лагранжа
                                                                      m
                L(x, λ) = L(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm) = f(x) + Q λi gi (x).
                                                                      i=1

      Точка x0 может быть точкой условного экстремума только в том случае,
когда существует набор чисел λ01 , . . . , λ0m такой, что точка (x10 , . . . ,xn0 ,λ01 , . . . ,λ0m)
является критической точкой для функции Лагранжа L(x, λ). Сами числа
λ01 , . . . , λ0m называются множителями Лагранжа для точки x0 .
      Если функции f и g1 , . . . , gm дважды непрерывно дифференцируемы в
точке x0 , то характер этой точки можно уточнить, исследовав на знако-
определенность квадратичную форму второго дифференциала d2 L(x0 , λ0 ),
в которой после дифференцирования уравнений связи (7) и получения за-
висимостей между dx1 , . . . , dxn «лишние» дифференциалы исключены.

   Пример 13. Исследовать функцию f(x, y) = 7x − 9y − 3 на экстремум
при условии −4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5 = 0.
   Решение. Составим функцию Лагранжа

              L(x, y, λ) = 7x − 9y − 3 + λ(−4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5)

и ищем ее критические точки.
                        ¢̈ ∂L
                        ¨
                        ¨
                        ¨     = 7 − 8λx + 4λy + 2λ = 0,
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                           ∂x
                        ¨ ∂L
                        ¦ = −9 + 4λx + 6λy − 4λ = 0,
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                           ∂y
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                        ¨ = −4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5 = 0.
                           ∂L
                        ¤̈ ∂λ
                                                     23        7     1
       Система имеет два решения: x1 =                  , y1 = , λ1 = и x2 = −2, y2 = −1,
                                                     8        4      2
          1
λ2 = − . На кривой3 , задаваемой условием −4x2 + 4xy+ 3y2 + 2x − 4y+ 5 = 0,
      2
дифференциалы dx и dy связаны соотношением, которое можно найти,
дифференцируя уравнение связи: (−8x + 4y + 2)dx + (4x + 6y − 4)dy = 0.
                                         23      7
Подставляя в полученное равенство x1 = , y1 = , находим, что в первой
                                                        8         4
          7
точке dy = dx. Далее
          9
   3
       В данном случае это гипербола.

                                                27