Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

равен m, то ес ть точка x
0
не является особой для «поверхности», заданной
уравнениями связи (7). Составим функцию Лагранжа
L(x, λ)= L(x
1
, . . . , x
n
, λ
1
, . . . , λ
m
)= f(x)+
m
Q
i=1
λ
i
g
i
(x).
Точка x
0
может быть точкой условного экстремума только в том случае,
когда существует набор чисел λ
0
1
, . . . , λ
0
m
такой, что точка (x
0
1
, . . . ,x
0
n
,λ
0
1
, . . . ,λ
0
m
)
является критической точкой для функции Лагранжа L(x, λ). С ами числа
λ
0
1
, . . . , λ
0
m
называются множителями Лагранжа для точки x
0
.
Если функции f и g
1
, . . . , g
m
дважды непрерывно дифференцируемы в
точке x
0
, то характер этой точки можно уточнить, исследовав на знако-
определенность квадратичную форму второго дифференциала d
2
L(x
0
, λ
0
),
в которой после дифференцирования уравнений связи (7) и получения за-
висимостей между dx
1
, . . . , dx
n
«лишние» дифференциа лы исключены.
Пример 13. Исследовать функцию f(x, y)= 7x − 9y − 3 на экстремум
при условии −4 x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x − 4y + 5 = 0.
Решение. Составим функцию Лагранжа
L(x, y, λ)= 7x − 9y − 3 + λ(−4x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x − 4y + 5)
и ищем ее критические точки.
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
∂L
∂x
= 7 − 8λx + 4λy+ 2λ = 0,
∂L
∂y
= −9 + 4λx + 6λy− 4λ = 0 ,
∂L
∂λ
= −4x
2
+ 4xy + 3y
2
+ 2x − 4y + 5 = 0.
Система имеет два решения: x
1
=
23
8
, y
1
=
7
4
, λ
1
=
1
2
и x
2
= −2, y
2
= −1,
λ
2
= −
1
2
. На кривой
3
, задаваемой условием −4x
2
+ 4xy+ 3y
2
+ 2x − 4y+ 5 = 0,
дифференциа лы dx и dy связаны соотношением, которое можно найти,
дифференцируя уравнение связи: (−8x + 4y + 2) dx + (4x + 6y − 4)dy = 0.
Подставляя в полученное равенство x
1
=
23
8
, y
1
=
7
4
, находим, что в первой
точке dy =
7
9
dx. Далее
3
В данном случае это гипербола.
27
равен m, то есть точка x0 не является особой для «поверхности», заданной
уравнениями связи (7). Составим функцию Лагранжа
                                                                      m
                L(x, λ) = L(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm) = f(x) + Q λi gi (x).
                                                                      i=1

      Точка x0 может быть точкой условного экстремума только в том случае,
когда существует набор чисел λ01 , . . . , λ0m такой, что точка (x10 , . . . ,xn0 ,λ01 , . . . ,λ0m)
является критической точкой для функции Лагранжа L(x, λ). Сами числа
λ01 , . . . , λ0m называются множителями Лагранжа для точки x0 .
      Если функции f и g1 , . . . , gm дважды непрерывно дифференцируемы в
точке x0 , то характер этой точки можно уточнить, исследовав на знако-
определенность квадратичную форму второго дифференциала d2 L(x0 , λ0 ),
в которой после дифференцирования уравнений связи (7) и получения за-
висимостей между dx1 , . . . , dxn «лишние» дифференциалы исключены.

   Пример 13. Исследовать функцию f(x, y) = 7x − 9y − 3 на экстремум
при условии −4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5 = 0.
   Решение. Составим функцию Лагранжа

              L(x, y, λ) = 7x − 9y − 3 + λ(−4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5)

и ищем ее критические точки.
                        ¢̈ ∂L
                        ¨
                        ¨
                        ¨     = 7 − 8λx + 4λy + 2λ = 0,
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                           ∂x
                        ¨ ∂L
                        ¦ = −9 + 4λx + 6λy − 4λ = 0,
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                           ∂y
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                        ¨ = −4x2 + 4xy + 3y2 + 2x − 4y + 5 = 0.
                           ∂L
                        ¤̈ ∂λ
                                                     23        7     1
       Система имеет два решения: x1 =                  , y1 = , λ1 = и x2 = −2, y2 = −1,
                                                     8        4      2
          1
λ2 = − . На кривой3 , задаваемой условием −4x2 + 4xy+ 3y2 + 2x − 4y+ 5 = 0,
      2
дифференциалы dx и dy связаны соотношением, которое можно найти,
дифференцируя уравнение связи: (−8x + 4y + 2)dx + (4x + 6y − 4)dy = 0.
                                         23      7
Подставляя в полученное равенство x1 = , y1 = , находим, что в первой
                                                        8         4
          7
точке dy = dx. Далее
          9
   3
       В данном случае это гипербола.

                                                27

Страницы