Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

5. Лока льный экст ремум. Условный экстрему м .
Наибольшее и наименьше е значения функции
в замкнутой области
Определение. Точку x
0
> R
n
называют точкой локального максимума
(локального минимума) фу нкции f(x), если x
0
— внутренняя точка обла-
сти определения функции и для некоторого δ A 0 справедливо неравенство
f(x)D f(x
0
)( f(x)E f(x
0
)) при всех x Sx − x
0
S< δ. Точки локального мак-
симума и локального минимума объединяются общим названием точек
локального экстремума.
Если нера венство в определении строгое при x x x
0
, то экстремум на-
зывают строгим.
Отметим необходимые условия локального экстремума.
1. Если x
0
— точка локального экстремума диф ференцируемой функ-
ции f(x), то
∂f(x
0
)
∂x
k
= 0 при всех k = 1, . . . , n, то есть точка x
0
является
критической точкой функции f(x).
2. Если x
0
— точка локального минимума (локального максимума) два-
жды дифференцируемой функции f(x), то квадратичная форма вто-
рого дифференциала d
2
f(x
0
)неотрицательна (неположительна).
Достаточные условия локального экстремума дает те орема:
Теоре ма. Пусть x
0
критическая точка дважды дифференцируемой функ-
ции f(x).
• Если квадратичная форма второго дифференциала d
2
f(x
0
)положи-
тельно определена, то в этой точке f(x)имеет строгий локальный
минимум.
• Если квадратичная форма второго дифференциала d
2
f(x
0
)отрица-
тельно определена, то в этой точке f(x)имеет строгий локальный
максимум.
• Если квадратичная форма второго дифференциа ла d
2
f(x
0
)знакопе-
ременна, то в этой точке f(x)не имеет локального экстремума.
Для определения знака второго дифференциала бывает полезен крите-
рий Сильвестра: для положительной определенности квадратичной фор-
мы B(ξ)=
n
P
i=1
n
P
j=1
b
ij
ξ
i
ξ
j
необходимо и достаточно, чтобы все главные мино-
ры ее матрицы были положительны:
24
5. Локальный экстремум. Условный экстремум.
   Наибольшее и наименьшее значения функции
   в замкнутой области
   Определение. Точку x0 > Rn называют точкой локального максимума
(локального минимума) функции f(x), если x0 — внутренняя точка обла-
сти определения функции и для некоторого δ A 0 справедливо неравенство
f(x) D f(x0 ) ( f(x) E f(x0 )) при всех x  Sx − x0 S < δ. Точки локального мак-
симума и локального минимума объединяются общим названием точек
локального экстремума.
   Если неравенство в определении строгое при x x x0 , то экстремум на-
зывают строгим.
   Отметим необходимые условия локального экстремума.
   1. Если x0 — точка локального экстремума дифференцируемой функ-
                     ∂ f(x0 )
      ции f(x), то     = 0 при всех k = 1, . . . , n, то есть точка x0 является
                   ∂xk
      критической точкой функции f(x).
   2. Если x0 — точка локального минимума (локального максимума) два-
      жды дифференцируемой функции f(x), то квадратичная форма вто-
      рого дифференциала d2 f(x0 ) неотрицательна (неположительна).
   Достаточные условия локального экстремума дает теорема:
   Теорема. Пусть x0 критическая точка дважды дифференцируемой функ-
ции f(x).
   • Если квадратичная форма второго дифференциала d2 f(x0 ) положи-
     тельно определена, то в этой точке f(x) имеет строгий локальный
     минимум.
   • Если квадратичная форма второго дифференциала d2 f(x0 ) отрица-
     тельно определена, то в этой точке f(x) имеет строгий локальный
     максимум.
   • Если квадратичная форма второго дифференциала d2 f(x0 ) знакопе-
     ременна, то в этой точке f(x) не имеет локального экстремума.
   Для определения знака второго дифференциала бывает полезен крите-
рий Сильвестра: для положительной определенности квадратичной фор-
            n n
мы B(ξ) = P P bi jξi ξ j необходимо и достаточно, чтобы все главные мино-
           i=1 j=1
ры ее матрицы были положительны:

                                      24

Страницы