Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 21 стр.

UptoLike

2u du + v dx + x dv dy = 0,
u dv + v du x dy ydx = 0.
(5)
Подставляя в (5) x = y = u = v = 1, получим
2 du + dx + dv dy = 0,
dv + du dy dx = 0,
откуда du = 2 dx, dv = 3 dx + dy.
Для нахождения d
2
u и d
2
v продифференцируем (5) с у четом того, что
x и y независимые переменные, и, следовательно, d
2
x = d
2
y = 0:
2u d
2
u + 2 du
2
+ dx dv + dv dx + x d
2
v = 0,
u d
2
v + du dv + v d
2
u + dv du dx dy dydx = 0.
(6)
В точке (1, 1, 1, 1), с учетом равенств du = 2 dx, dv = 3 dx + dy, система
(6) преобразуется к виду:
2 d
2
u + d
2
v = 14 dx
2
2 dx dy,
d
2
u + d
2
v = 12 dx
2
+ 6 dx dy,
откуда d
2
u = 26 dx
2
8 dx dy, d
2
v = 38 dx
2
+ 14 dx dy.
Ответ. du = 2 dx, dv = 3 dx + dy; d
2
u = 26 dx
2
8 dx dy, d
2
v =
= 38 dx
2
+ 14 dx dy.
Правила дифференцир ования сложных и неявно з аданных функций
использую т при замене переменных в дифференциальных выражениях.
Пример 10. Преобразовать выр ажение
F = 2(x y)(z

yy
z

xy
)+ z
x
z
y
,
где z = z(x, y) дважды непрерывно дифференцируемая функция, к но-
вым переменным:
u = x + y, v =
º
x y.
Решение. С учетом того, что
21
                           2u du + v dx + x dv − dy = 0,
                       œ                                                   (5)
                           u dv + v du − x dy − ydx = 0.

   Подставляя в (5) x = y = u = v = 1, получим

                               2 du + dx + dv − dy = 0,
                           œ
                                 dv + du − dy − dx = 0,

откуда du = −2 dx, dv = 3 dx + dy.
   Для нахождения d2 u и d2v продифференцируем (5) с учетом того, что
x и y — независимые переменные, и, следовательно, d2 x = d2 y = 0:

                      2u d2 u + 2 du2 + dx dv + dv dx + x d2v = 0,
             œ 2                                                           (6)
              u d v + du dv + v d2 u + dv du − dx dy − dydx = 0.

    В точке (1, 1, 1, 1), с учетом равенств du = −2 dx, dv = 3 dx + dy, система
(6) преобразуется к виду:

                       2 d2 u + d2v = −14 dx2 − 2 dx dy,
                      œ 2
                         d u + d2v = 12 dx2 + 6 dx dy,

откуда d2 u = −26 dx2 − 8 dx dy, d2v = 38 dx2 + 14 dx dy.
   Ответ. du = −2 dx, dv = 3 dx + dy; d2 u = −26 dx2 − 8 dx dy, d2v =
= 38 dx2 + 14 dx dy.

   Правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций
используют при замене переменных в дифференциальных выражениях.

   Пример 10.     Преобразовать выражение

                      F = 2(x − y)(zœœyy − zœœxy) + zœx − zœy,

где z = z(x, y) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, к но-
                                       º
вым переменным:
                         u = x + y, v = x − y.


   Решение.     С учетом того, что



                                         21