Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

непрерывные частные производные до порядка r, то этим свойством будет
о бладать и неявная функция y(x).
Эта теорема допускает обобщение на неявно заданные отображения.
Теорема. Пусть отображение F(x, y)= F(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
)опре-
делено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки
(x
0
, y
0
) = (x
0
1
, . . . , x
0
n
, y
0
1
, . . . , y
0
m
)и принимает значения в пространстве
R
m
, причем F(x
0
, y
0
)= 0, а якобиан
D(F
1
, . . . , F
m
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
(x
0
, y
0
)x 0, то найдется
окрестность точки x
0
и непрерывно дифференцируемое в ней отображе-
ние y(x)такое, что y(x
0
)= y
0
, и при всех x из этой окрестности выпол-
няется тождество F(x,y(x)) 0. Производная y(x)удовлетворяет соот-
ношению: y
(x)= −
F
y
(x, y(x))
−1
ċ F
x
(x, y(x)), гд е
F
y
(x,y(x))=
∂F
1
∂y
1
. . .
∂F
1
∂y
m
∂F
m
∂y
1
. . .
∂F
m
∂y
m
(x,y(x)), F
x
(x,y(x))=
∂F
1
∂x
1
. . .
∂F
1
∂x
n
∂F
m
∂x
1
. . .
∂F
m
∂x
n
(x,y(x)).
В координатной форме теорема о неявном отобр ажении означает, что
в окрестности точки (x
0
, y
0
)систему уравнений
¢
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¤
F
1
(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
m
(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) = 0
можно разрешить относительно (y
1
, . . . , y
m
), выразив их через (x
1
, . . . , x
n
).
Теорема о неявном отображении эквивалентна теореме об обратном
отображении.
Теорема. Пусть отображение F R
n
R
n
опред елено и непрерывно
дифференцируемо в некоторой окрестности точки x
0
, причем det F
(x
0
)x
x 0. Тогда существу ют открытые множества U ? x
0
. и V ? F(x
0
)такие,
что отображение F U V, имеет непрерывно дифференцируе мое обрат-
ное F
−1
V U. Производная обратного отображения при каждом y > V
удовлетворяет равенству (F
−1
)
(y)= (F
(F
−1
(y)))
−1
.
Пример 8. Для функции z = z(x, y), неявно заданной уравнением x
2
+
+5y
2
−z
2
+xz+3xy+7yz+4z = 0, найти d
2
z в точке M
0
(1,−1), если z(1, −1)= 1.
Решение. Для непр ерывно дифференцируемой функции F(x,y,z)=
= x
2
+ 5y
2
− z
2
+ xz + 3xy+ 7yz + 4z в точке x
0
= 1, y
0
= −1, z
0
= 1 выполнены
все условия теоремы о функции, заданной неявно:
18
непрерывные частные производные до порядка r, то этим свойством будет
обладать и неявная функция y(x).
    Эта теорема допускает обобщение на неявно заданные отображения.
    Теорема. Пусть отображение F(x, y) = F(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym) опре-
делено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки
(x0 , y0 ) = (x10 , . . . , xn0 , y10 , . . . , y0m) и принимает значения в пространстве
                                                D(F1 , . . . , Fm ) 0 0
Rm, причем F(x0 , y0 ) = 0, а якобиан                               (x , y ) x 0, то найдется
                                                D(y1 , . . . , ym )
окрестность точки x0 и непрерывно дифференцируемое в ней отображе-
ние y(x) такое, что y(x0 ) = y0 , и при всех x из этой окрестности выпол-
няется тождество F(x, y(x))  0. Производная y(x) удовлетворяет соот-
ношению: yœ (x) = − ‰Fœ y(x, y(x))Ž ċ Fœ x (x, y(x)), где
                                   −1



              ’ ∂y11 . . .   ∂ym “                       ’ ∂F               ∂xn “
                ∂F           ∂F1                                            ∂F1
                                                           ∂x1 . . .
                                                              1


Fœ y(x,y(x))= –
              –              —                        –
                                 —(x,y(x)), F x(x,y(x))= –  
                                             œ
                                                                              ——(x,y(x)).
              ” ∂F
                ∂y1 . . .
                  m          ∂Fm
                             ∂ym
                                 •                       ” ∂F
                                                           ∂x1 . . .
                                                             m              ∂Fm
                                                                            ∂xn
                                                                                •

    В координатной форме теорема о неявном отображении означает, что
в окрестности точки (x0 , y0 ) систему уравнений
                         ¢̈ F1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym) = 0,
                         ¨
                         ¨
                         ¦....................
                         ¨
                         ¨ Fm(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym) = 0
                         ¤̈
можно разрешить относительно (y1 , . . . , ym), выразив их через (x1 , . . . , xn).
    Теорема о неявном отображении эквивалентна теореме об обратном
отображении.
    Теорема. Пусть отображение F  Rn            Rn определено и непрерывно
дифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 , причем det Fœ (x0 ) x
x 0. Тогда существуют открытые множества U ? x0 . и V ? F(x0 ) такие,
что отображение F  U V, имеет непрерывно дифференцируемое обрат-
ное F−1  V   U. Производная обратного отображения при каждом y > V
удовлетворяет равенству (F−1 )œ (y) = (Fœ (F−1 (y)))−1 .
    Пример 8. Для функции z = z(x, y), неявно заданной уравнением x2 +
+5y2 −z2 +xz+3xy+7yz+4z = 0, найти d2 z в точке M0 (1, −1), если z(1, −1) = 1.

    Решение. Для непрерывно дифференцируемой функции F(x,y,z) =
= + 5y2 − z2 + xz + 3xy + 7yz + 4z в точке x0 = 1, y0 = −1, z0 = 1 выполнены
  x2
все условия теоремы о функции, заданной неявно:

                                               18

Страницы