Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 18 стр.

UptoLike

непрерывные частные производные до порядка r, то этим свойством будет
о бладать и неявная функция y(x).
Эта теорема допускает обобщение на неявно заданные отображения.
Теорема. Пусть отображение F(x, y)= F(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
)опре-
делено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки
(x
0
, y
0
) = (x
0
1
, . . . , x
0
n
, y
0
1
, . . . , y
0
m
)и принимает значения в пространстве
R
m
, причем F(x
0
, y
0
)= 0, а якобиан
D(F
1
, . . . , F
m
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
(x
0
, y
0
)x 0, то найдется
окрестность точки x
0
и непрерывно дифференцируемое в ней отображе-
ние y(x)такое, что y(x
0
)= y
0
, и при всех x из этой окрестности выпол-
няется тождество F(x,y(x)) 0. Производная y(x)удовлетворяет соот-
ношению: y
(x)=
F
y
(x, y(x))
1
ċ F
x
(x, y(x)), гд е
F
y
(x,y(x))=
∂F
1
y
1
. . .
∂F
1
y
m
∂F
m
y
1
. . .
∂F
m
y
m
(x,y(x)), F
x
(x,y(x))=
∂F
1
∂x
1
. . .
∂F
1
∂x
n
∂F
m
∂x
1
. . .
∂F
m
∂x
n
(x,y(x)).
В координатной форме теорема о неявном отобр ажении означает, что
в окрестности точки (x
0
, y
0
)систему уравнений
¢
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¤
F
1
(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
m
(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) = 0
можно разрешить относительно (y
1
, . . . , y
m
), выразив их через (x
1
, . . . , x
n
).
Теорема о неявном отображении эквивалентна теореме об обратном
отображении.
Теорема. Пусть отображение F R
n
R
n
опред елено и непрерывно
дифференцируемо в некоторой окрестности точки x
0
, причем det F
(x
0
)x
x 0. Тогда существу ют открытые множества U ? x
0
. и V ? F(x
0
)такие,
что отображение F U V, имеет непрерывно дифференцируе мое обрат-
ное F
1
V U. Производная обратного отображения при каждом y > V
удовлетворяет равенству (F
1
)
(y)= (F
(F
1
(y)))
1
.
Пример 8. Для функции z = z(x, y), неявно заданной уравнением x
2
+
+5y
2
z
2
+xz+3xy+7yz+4z = 0, найти d
2
z в точке M
0
(1,1), если z(1, 1)= 1.
Решение. Для непр ерывно дифференцируемой функции F(x,y,z)=
= x
2
+ 5y
2
z
2
+ xz + 3xy+ 7yz + 4z в точке x
0
= 1, y
0
= 1, z
0
= 1 выполнены
все условия теоремы о функции, заданной неявно:
18