Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Чтобы воспользоваться известными разложениями
ch α = 1 +
1
2
α
2
+ o(α
3
) при α 0 ,
(1 + α)
−1~2
= 1 −
1
2
α +
3
8
α
2
+ o(α
2
) при α 0 ,
нужно предварительно сделать замену переменных:
f(x, y)=
x − y
»
ch(x + y)
= W
x = ξ + 1, ξ = x − 1
y = η − 1, η = y − 1
W=
ξ − η + 2
»
ch(ξ + η)
=
=
ξ − η + 2
»
ch(ξ + η)
= (ξ − η + 2)ċ 1 +
(ξ + η)
2
2
+ o(ρ
3
)
−1~2
=
= (ξ − η + 2)1 −
1
2
(ξ + η)
2
2
+ o(ρ
3
)+ o(ρ
3
)=
= 2 + ξ − η −
ξ
2
2
− ξη −
η
2
2
−
ξ
3
4
−
ξ
2
η
4
+
ξη
2
4
+
η
3
4
+ o(ρ
3
).
Используя обратн ую замену, получаем ответ.
Ответ. f(x, y)= 2 + (x − 1)− (y+ 1)−
( x − 1)
2
2
− (x − 1)(y+ 1)−
(y + 1)
2
2
−
−
( x − 1)
3
4
−
( x − 1)
2
(y + 1)
4
+
( x − 1)(y + 1)
2
4
+
(y + 1)
3
4
+ o(ρ
3
)при ρ 0.
Пример 7. Используя ф ормулу Тейлора, ра зложить функцию u = 4x
4
+
+ 4x
3
y − y
4
− 3xy
2
+ 3x
2
− 4xy + 2y
2
+ 3x + 4y по степеням x − 4, y − 3.
Решение. Функция u(x, y)— многочлен 4-й степени по переменным
x и y, d
5
u 0, следовательно, о статочный член формулы Тейлора четве рто-
го порядка равен нулю и u(x, y)совпадает со своим многочленом Тейлора
четвертой степени в точке x
0
= 4, y
0
= 3:
u(x, y)= u(x
0
, y
0
)+ du(x
0
, y
0
)+
1
2!
d
2
u(x
0
, y
0
)+
1
3!
d
3
u(x
0
, y
0
)+
1
4!
d
4
u(x
0
, y
0
).
Последовательно находим
u(x
0
, y
0
)= 1645;
∂u
∂x
= 16x
3
+ 12 x
2
y − 3y
2
+ 6x − 4y+ 3
T
(x
0
,y
0
)
= 1588,
∂u
∂y
= 4x
3
− 4y
3
− 6xy − 4x + 4y+ 4
T
(x
0
,y
0
)
= 76,
du( x
0
, y
0
)= 1588(x − 4)+ 76(y− 3);
16
    Решение.       Чтобы воспользоваться известными разложениями
                                   1
                        ch α = 1 + α2 + o(α3 ) при α 0,
                                   2
                                   1   3
                  (1 + α)−1~2 = 1 − α + α2 + o(α2 ) при α                0,
                                   2   8
нужно предварительно сделать замену переменных:

                                 x = ξ + 1, ξ = x − 1
                            =W                        W= »
                 x−y                                      ξ−η+2
  f(x, y) = »                                                        =
                ch(x + y)        y = η − 1, η = y − 1      ch(ξ + η)
                                                 (ξ + η)2
                                                                         −1~2
                            = (ξ − η + 2) ċ ‹1 +          + o(ρ3 )
                 ξ−η+2
               =»                                                     =
                  ch(ξ + η)                          2
                                    1 (ξ + η)2
                = (ξ − η + 2) ‹1 − ‹            + o(ρ3 ) + o(ρ3 ) =
                                    2     2

                                                                      + + o(ρ3 ).
                                       ξ2         η2 ξ3 ξ2 η ξη2 η3
                         = 2 + ξ − η − − ξη − − −               +
                                       2           2    4     4     4   4

    Используя обратную замену, получаем ответ.
                                                      (x − 1)2                    (y + 1)2
    Ответ.     f(x, y) = 2 + (x − 1) − (y + 1) −               − (x − 1)(y + 1) −          −
                                                           2                         2
  (x − 1)     (x − 1) (y + 1) (x − 1)(y + 1)     (y + 1)
                                                           + o(ρ3 ) при ρ 0.
          3          2                       2           3
−           −                +                 +
     4               4               4              4
    Пример 7. Используя формулу Тейлора, разложить функцию u = 4x4 +
+ 4x3 y − y4 − 3xy2 + 3x2 − 4xy + 2y2 + 3x + 4y по степеням x − 4, y − 3.
    Решение. Функция u(x, y) — многочлен 4-й степени по переменным
x и y, d5 u  0, следовательно, остаточный член формулы Тейлора четверто-
го порядка равен нулю и u(x, y) совпадает со своим многочленом Тейлора
четвертой степени в точке x0 = 4, y0 = 3:

u(x, y) = u(x0 , y0 ) + du(x0 , y0 ) + d2 u(x0 , y0 ) + d3 u(x0 , y0 ) + d4 u(x0 , y0 ).
                                         1                  1                   1
                                         2!                 3!                  4!

    Последовательно находим

                                      u(x0 , y0 ) = 1645;
                ∂u
                    = 16x3 + 12x2 y − 3y2 + 6x − 4y + 3T(x ,y ) = 1588,
                ∂x                                        0 0
                  ∂u
                      = 4x3 − 4y3 − 6xy − 4x + 4y + 4T(x ,y ) = 76,
                   ∂y                                     0 0

                        du(x0 , y0 ) = 1588(x − 4) + 76(y − 3);

                                              16

Страницы