Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 16 стр.

UptoLike

Решение. Чтобы воспользоваться известными разложениями
ch α = 1 +
1
2
α
2
+ o(α
3
) при α 0 ,
(1 + α)
1~2
= 1
1
2
α +
3
8
α
2
+ o(α
2
) при α 0 ,
нужно предварительно сделать замену переменных:
f(x, y)=
x y
»
ch(x + y)
= W
x = ξ + 1, ξ = x 1
y = η 1, η = y 1
W=
ξ η + 2
»
ch(ξ + η)
=
=
ξ η + 2
»
ch(ξ + η)
= (ξ η + 2)ċ 1 +
(ξ + η)
2
2
+ o(ρ
3
)
1~2
=
= (ξ η + 2)1
1
2
(ξ + η)
2
2
+ o(ρ
3
)+ o(ρ
3
)=
= 2 + ξ η
ξ
2
2
ξη
η
2
2
ξ
3
4
ξ
2
η
4
+
ξη
2
4
+
η
3
4
+ o(ρ
3
).
Используя обратн ую замену, получаем ответ.
Ответ. f(x, y)= 2 + (x 1) (y+ 1)
( x 1)
2
2
(x 1)(y+ 1)
(y + 1)
2
2
( x 1)
3
4
( x 1)
2
(y + 1)
4
+
( x 1)(y + 1)
2
4
+
(y + 1)
3
4
+ o(ρ
3
)при ρ 0.
Пример 7. Используя ф ормулу Тейлора, ра зложить функцию u = 4x
4
+
+ 4x
3
y y
4
3xy
2
+ 3x
2
4xy + 2y
2
+ 3x + 4y по степеням x 4, y 3.
Решение. Функция u(x, y) многочлен 4-й степени по переменным
x и y, d
5
u 0, следовательно, о статочный член формулы Тейлора четве рто-
го порядка равен нулю и u(x, y)совпадает со своим многочленом Тейлора
четвертой степени в точке x
0
= 4, y
0
= 3:
u(x, y)= u(x
0
, y
0
)+ du(x
0
, y
0
)+
1
2!
d
2
u(x
0
, y
0
)+
1
3!
d
3
u(x
0
, y
0
)+
1
4!
d
4
u(x
0
, y
0
).
Последовательно находим
u(x
0
, y
0
)= 1645;
∂u
∂x
= 16x
3
+ 12 x
2
y 3y
2
+ 6x 4y+ 3
T
(x
0
,y
0
)
= 1588,
∂u
y
= 4x
3
4y
3
6xy 4x + 4y+ 4
T
(x
0
,y
0
)
= 76,
du( x
0
, y
0
)= 1588(x 4)+ 76(y 3);
16