Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

δV =
∆V
V
= 0.07212137236.
Ответ. V = 23427.19493 см
3
, ∆V = 1689.601449 см
3
, δV = 0 .07212137236.
3. Производные и дифференциалы высших порядков
Если функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)определена в облас ти D ⊂ R
n
и в
каждой точке этой области определены частные производные
∂f(x)
∂x
k
,
k = 1, . . . , n, x > D, которые в свою очередь дифференцируемы в D, тогда их
частные производные называются частными производными второго по-
рядка:
∂
2
f(x)
∂x
i
∂x
k
, i, k = 1, . . . , n, x > D.
Если определены и дифференцируемы частные производные
∂
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
,
порядка r, то частные производные следующего порядка r + 1 определяем
индуктивно:
∂
r+1
f(x)
∂x
k
r+1
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
=
∂
∂x
k
r+1
∂
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
.
Альтернативное о бозначение f
(r)
x
k
1
...x
k
r
(x) =
∂
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
. Порядок индек-
сов показывает порядок выполнения операций дифференцир ования. При
некоторых ограничениях, например, если все частные производные до по-
рядка r непрерывны в области D, значение частной пр оизводной зависит
лишь от того, по ка ким координатам и сколько раз выполнялось дифф е-
ренцирование, но не зависит от порядка выполнения дифф еренцирова-
ний.
Дифференциалом порядка r функции f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)называют
выражение
d
r
f(x)=
n
Q
k
r
=1
. . .
n
Q
k
1
=1
f
(r)
x
k
1
...x
k
r
(x)dx
k
1
. . . dx
k
r
в предположении, что в се частные производные до порядка r − 1 функции
f(x)дифференцируемы.
Пример 5. Найти второй дифференциал функции f(x, y, z) =
= ln
xyz
x
2
− yz
+ 1.
14
                                           ∆V
                                  δV =        = 0.07212137236.
                                           V

   Ответ.        V = 23427.19493 см3 , ∆V = 1689.601449 см3 , δV = 0.07212137236.



3. Производные и дифференциалы высших порядков
   Если функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) определена в области D ⊂ Rn и в
                                                                                       ∂ f(x)
каждой точке этой области определены частные производные                     ,
                                                                        ∂xk
k = 1, . . . , n, x > D, которые в свою очередь дифференцируемы в D, тогда их
частные производные называются частными производными второго по-
         ∂2 f(x)
рядка:           , i, k = 1, . . . , n, x > D.
         ∂xi ∂xk
                                                                                  ∂r f(x)
   Если определены и дифференцируемы частные производные                                        ,
                                                                                ∂xkr . . . ∂xk1
порядка r, то частные производные следующего порядка r + 1 определяем
индуктивно:

                           ∂r+1 f(x)            ∂      ∂r f(x)
                                             =      Œ                ‘.
                       ∂xkr+1 ∂xkr . . . ∂xk1 ∂xkr+1 ∂xkr . . . ∂xk1

                                             (r)
Альтернативное обозначение fxk1 ...xkr (x) =
                                                              ∂r f(x)
                                                                            . Порядок индек-
                                                            ∂xkr . . . ∂xk1
сов показывает порядок выполнения операций дифференцирования. При
некоторых ограничениях, например, если все частные производные до по-
рядка r непрерывны в области D, значение частной производной зависит
лишь от того, по каким координатам и сколько раз выполнялось диффе-
ренцирование, но не зависит от порядка выполнения дифференцирова-
ний.
   Дифференциалом порядка r функции f(x) = f(x1 , . . . , xn) называют
выражение
                                     n           n
                                                     (r)
                       dr f(x) = Q . . . Q fxk1 ...xkr (x) dxk1 . . . dxkr
                                    kr=1     k1 =1

в предположении, что все частные производные до порядка r − 1 функции
f(x) дифференцируемы.
    Пример 5. Найти второй дифференциал функции f(x, y, z)                                    =
      xyz
= lnŠ 2   + 1.
     x − yz

                                                     14

Страницы