Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 14 стр.

UptoLike

δV =
V
V
= 0.07212137236.
Ответ. V = 23427.19493 см
3
, V = 1689.601449 см
3
, δV = 0 .07212137236.
3. Производные и дифференциалы высших порядков
Если функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)определена в облас ти D R
n
и в
каждой точке этой области определены частные производные
f(x)
∂x
k
,
k = 1, . . . , n, x > D, которые в свою очередь дифференцируемы в D, тогда их
частные производные называются частными производными второго по-
рядка:
2
f(x)
∂x
i
∂x
k
, i, k = 1, . . . , n, x > D.
Если определены и дифференцируемы частные производные
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
,
порядка r, то частные производные следующего порядка r + 1 определяем
индуктивно:
r+1
f(x)
∂x
k
r+1
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
=
∂x
k
r+1
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
.
Альтернативное о бозначение f
(r)
x
k
1
...x
k
r
(x) =
r
f(x)
∂x
k
r
. . . ∂x
k
1
. Порядок индек-
сов показывает порядок выполнения операций дифференцир ования. При
некоторых ограничениях, например, если все частные производные до по-
рядка r непрерывны в области D, значение частной пр оизводной зависит
лишь от того, по ка ким координатам и сколько раз выполнялось дифф е-
ренцирование, но не зависит от порядка выполнения дифф еренцирова-
ний.
Дифференциалом порядка r функции f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)называют
выражение
d
r
f(x)=
n
Q
k
r
=1
. . .
n
Q
k
1
=1
f
(r)
x
k
1
...x
k
r
(x)dx
k
1
. . . dx
k
r
в предположении, что в се частные производные до порядка r 1 функции
f(x)дифференцируемы.
Пример 5. Найти второй дифференциал функции f(x, y, z) =
= ln
xyz
x
2
yz
+ 1.
14