Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 11 стр.

UptoLike

При m = n определитель матрицы Якоби называют якобианом и обо-
значают
D(F
!
, . . . , F
n
)
D(x
1
. . . , x
n
)
(x
0
).
Если отображение F(x)= (F
1
(x), . . . , F
m
(x))дифференцируемо в точке
x
0
> R
n
, а отображение G(y)= (G
1
(y), . . . , G
s
(y))дифференцируемо в точ-
ке y
0
= F(x
0
)> R
m
, то их композиция Φ
Φ
Φ(x)= G(F(x))дифференцируема в
точке x
0
и е е производная вычисляется по правилу Φ
Φ
Φ
(x
0
)= G
(y
0
)F
(x
0
),
как произведение производных.
Отсюда, в частности, следует формула дифференцирования сложной
функции. Если функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)дифференцируема в точке
x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
), а функции φ
k
(t)= φ
k
(t
1
, . . . , t
s
), k = 1, . . . , n дифферен-
цируемы в точке t
0
= (t
0
1
, . . . , t
0
s
), причем φ
k
(t
0
)= x
0
k
, k = 1, . . . , n, то компо-
зиция F(t)= f(φ
1
(t), . . . , φ
n
(t))дифференцируема в t
0
и
∂F(t
0
)
∂t
i
=
n
Q
k=1
f(x
0
)
∂x
k
ċ
φ
k
(t
0
)
∂t
i
.
Пример 3. Для отображений
F R
3
R
2
, F(x, y,z)= (4x 4y 4z, 2xy 4z
2
)
и
G R
2
R
3
, G(u, v)= (e
v
, sin(u v), e
u+v
)
найти матрицы Якоби композиции Φ
Φ
Φ = F X G в точке M
0
(2,4) непо-
средственно и композиции Ψ
Ψ
Ψ = G X F в точке N
0
(5,4,5) с помощью
теор емы о дифференцировании композиции.
Решение. Композиция двух всюду дифференцируемых отображений
Φ
Φ
Φ(u,v)= F(G(u,v))= (4e
v
4 sin(u v) 4e
u+v
, 2e
v
sin(u v) 4e
2(u+v)
),
Φ
Φ
Φ R
2
R
2
всюду дифференцируема и ее производная, матрица Якоби
отображения Φ
Φ
Φ, составлена из частных производных ее компонент.
Φ
Φ
Φ
(u, v)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 cos(u v) 4e
u+v
4e
v
+ 4 cos(u v) 4e
u+v
2e
v
cos(uv) 8e
2(u+v)
2e
v
sin(uv) 2e
v
cos(uv) 8e
2(u+v)
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
Подс тавляя u = 2,v = 4, получим
Φ
Φ
Φ
(2,4)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 cos 2 4e
6
4e
4
+ 4 cos 2 4e
6
2e
4
cos 2 8e
12
2e
4
sin 2 2e
4
cos 2 8e
12
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
По теореме о диф ференцируемости композиции отображений
11