Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

При m = n определитель матрицы Якоби называют якобианом и обо-
значают
D(F
!
, . . . , F
n
)
D(x
1
. . . , x
n
)
(x
0
).
Если отображение F(x)= (F
1
(x), . . . , F
m
(x))дифференцируемо в точке
x
0
> R
n
, а отображение G(y)= (G
1
(y), . . . , G
s
(y))дифференцируемо в точ-
ке y
0
= F(x
0
)> R
m
, то их композиция Φ
Φ
Φ(x)= G(F(x))дифференцируема в
точке x
0
и е е производная вычисляется по правилу Φ
Φ
Φ
(x
0
)= G
(y
0
)F
(x
0
),
как произведение производных.
Отсюда, в частности, следует формула дифференцирования сложной
функции. Если функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)дифференцируема в точке
x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
), а функции φ
k
(t)= φ
k
(t
1
, . . . , t
s
), k = 1, . . . , n дифферен-
цируемы в точке t
0
= (t
0
1
, . . . , t
0
s
), причем φ
k
(t
0
)= x
0
k
, k = 1, . . . , n, то компо-
зиция F(t)= f(φ
1
(t), . . . , φ
n
(t))дифференцируема в t
0
и
∂F(t
0
)
∂t
i
=
n
Q
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
ċ
∂φ
k
(t
0
)
∂t
i
.
Пример 3. Для отображений
F R
3
R
2
, F(x, y,z)= (4x − 4y − 4z, 2xy − 4z
2
)
и
G R
2
R
3
, G(u, v)= (e
v
, sin(u − v), e
u+v
)
найти матрицы Якоби композиции Φ
Φ
Φ = F X G в точке M
0
(−2,−4)— непо-
средственно и композиции Ψ
Ψ
Ψ = G X F в точке N
0
(5,−4,−5)— с помощью
теор емы о дифференцировании композиции.
Решение. Композиция двух всюду дифференцируемых отображений
Φ
Φ
Φ(u,v)= F(G(u,v))= (4e
v
− 4 sin(u − v)− 4e
u+v
, 2e
v
sin(u − v)− 4e
2(u+v)
),
Φ
Φ
Φ R
2
R
2
всюду дифференцируема и ее производная, матрица Якоби
отображения Φ
Φ
Φ, составлена из частных производных ее компонент.
Φ
Φ
Φ
(u, v)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
−4 cos(u − v)− 4e
u+v
4e
v
+ 4 cos(u − v)− 4e
u+v
2e
v
cos(u−v)− 8e
2(u+v)
2e
v
sin(u−v)− 2e
v
cos(u−v)− 8e
2(u+v)
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
Подс тавляя u = −2,v = −4, получим
Φ
Φ
Φ
(−2,−4)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
−4 cos 2 − 4e
−6
4e
−4
+ 4 cos 2 − 4e
−6
2e
−4
cos 2 − 8e
−12
2e
−4
sin 2 − 2e
−4
cos 2 − 8e
−12
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
По теореме о диф ференцируемости композиции отображений
11
     При m = n определитель матрицы Якоби называют якобианом и обо-
             D(F! , . . . , Fn ) 0
значают                         (x ).
             D(x1 . . . , xn )
    Если отображение F(x) = (F1 (x), . . . , Fm(x)) дифференцируемо в точке
x0 > Rn, а отображение G(y) = (G1 (y), . . . , Gs(y)) дифференцируемо в точ-
ке y0 = F(x0 ) > Rm, то их композиция Φ(x) = G(F(x)) дифференцируема в
точке x0 и ее производная вычисляется по правилу ֜ (x0 ) = Gœ (y0 )Fœ (x0 ),
как произведение производных.
    Отсюда, в частности, следует формула дифференцирования сложной
функции. Если функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) дифференцируема в точке
x0 = (x10 , . . . , xn0 ), а функции φk (t) = φk (t1 , . . . , ts), k = 1, . . . , n дифферен-
цируемы в точке t0 = (t10 , . . . , ts0 ), причем φk (t0 ) = xk0 , k = 1, . . . , n, то компо-
зиция F(t) = f(φ1 (t), . . . , φn(t)) дифференцируема в t0 и
                                        ∂F(t0 )
                                                 n
                                                   ∂ f(x0 ) ∂φk (t0 )
                                                =Q         ċ          .
                                         ∂ti         ∂xk      ∂ti
                                                 k=1

     Пример 3. Для отображений
                  F  R3       R2 ,       F(x, y, z) = (4x − 4y − 4z, 2xy − 4z2 )
и
                      G  R2        R3 ,      G(u, v) = (ev , sin(u − v), eu+v )
найти матрицы Якоби композиции Φ = F X G в точке M0 (−2, −4) — непо-
средственно и композиции Ψ = G X F в точке N0 (5, −4, −5) — с помощью
теоремы о дифференцировании композиции.
   Решение. Композиция двух всюду дифференцируемых отображений
Φ(u, v) = F(G(u, v)) = (4ev − 4 sin(u − v) − 4eu+v , 2ev sin(u − v) − 4e2(u+v) ),
Φ  R2   R2 всюду дифференцируема и ее производная, матрица Якоби
отображения Φ, составлена из частных производных ее компонент.
            ¢̈ −4 cos(u − v) − 4eu+v                                         £̈
֜ (u, v) = ¨
            ¨ 2ev cos(u−v) − 8e2(u+v) 2ev sin(u−v) − 2ev cos(u−v) − 8e2(u+v) ¨
                                             4ev + 4 cos(u − v) − 4eu+v
            ¨                                                                ¨
                                                                             ¨.
            ¤̈                                                               ¥̈
     Подставляя u = −2, v = −4, получим
                    ¢̈ −4 cos 2 − 4e−6                                              £̈
         œ          ¨
       Φ (−2, −4) = ¨
                                             4e−4 + 4 cos 2 − 4e−6
                    ¨ 2e−4 cos 2 − 8e−12 2e−4 sin 2 − 2e−4 cos 2 − 8e−12            ¨
                                                                                    ¨
                                                                                    ¨.
                    ¤̈                                                              ¥̈
     По теореме о дифференцируемости композиции отображений

                                                       11

Страницы