Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

W
y( x + y)Sx − 2S
4(ySx − 2S+ 4)
»
( x − 2)
2
+ y
2
W=
SySSx − 2S
»
( x − 2)
2
+ y
2
ċ
Sx + yS
4
T
ySx − 2S+ 4
T
= o(ρ) при ρ 0,
поскольку 0 <
SySSx − 2S
»
( x − 2)
2
+ y
2
D Sx − 2Sи, следовательно,
SySSx − 2S
»
( x − 2)
2
+ y
2
— беско-
нечно малая, а второй множитель, функция
Sx + yS
4
T
ySx − 2S+ 4
T
— ограничен при
(x, y) (2,0)как функция, имеющая конечный предел.
(b) Найдем: g(−1, 0)= 1, g(x,0)= 1, g(−1, y)= 1. Поэтому g
x
(−1,0)=
= g
y
(−1,0)= 0.
Если g(x, y)дифференцируема в точке M
0
, то ее приращение предста-
вимо в виде
∆g(−1, 0)= g(x, y)− g(−1, 0)= cos
5
»
y(x + 1)− 1 = o(ρ) при ρ 0,
где ρ =
»
(x + 1)
2
+ y
2
. В час тности, для точек прямой y = x + 1 при x −1
получим
cos
5
»
(x + 1)
2
− 1 = o(Sx + 1S).
Однако, последнее равенство неверно. Действи тельно, преобразовав
левую часть, получим
−2 sin
2
( x + 1)
2~5
2
= o(Sx + 1S) при x −1,
что, очевидно, не является верным, так как
−2 sin
2
( x + 1)
2~5
2
−
( x + 1)
4~5
2
x o(Sx + 1S) при x −1.
Таким образом, функция не является диф ференцируемой в у казанной
точке.
Ответ. (a) f
x
(2,0) =
1
4
, f
y
(2,0) =
1
4
, функция дифференцируема.
(b) g
x
(−1,0)= g
y
(−1,0)= 0, функция не дифференцируема.
Геометрический смысл дифференцируемости функции f(x)в точке x
0
состоит в существовании касательной плоскости π и вектора нормали
Ð
N,
π y = f(x
0
)+
n
Q
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
(x
k
− x
0
k
),
Ð
N =
∂f(x
0
)
∂x
1
, . . . ,
∂f(x
0
)
∂x
n
, −1
к графику функции G
f
y = f(x). Единичный вектор нормали
Ñ
n =
1
U
Ð
NU
Ð
N.
Плоскость π ⊂ R
n+1
(рис. 1 при n = 2) удовле творяет условиям:
9
                                          SySSx − 2S       Sx + yS
 W                                 W
            y(x + y)Sx − 2S
                    »                = »              ċ                = o(ρ)               при ρ     0,
     4(ySx − 2S + 4) (x − 2)2 + y2       (x − 2)2 + y2 4TySx − 2S + 4T

                        SySSx − 2S                                             SySSx − 2S
поскольку 0 < »                               D Sx − 2S и, следовательно, »                   — беско-
                        (x   − 2)2   +   y2                                   (x − 2)2 + y2
                                                                       Sx + yS
нечно малая, а второй множитель, функция                                           — ограничен при
                                                                   4TySx − 2S + 4T
(x, y) (2, 0) как функция, имеющая конечный предел.
    (b) Найдем: g(−1, 0) = 1, g(x, 0) = 1, g(−1, y) = 1. Поэтому gxœ (−1, 0) =
= gœy(−1, 0) = 0.
    Если g(x, y) дифференцируема в точке M0 , то ее приращение предста-
вимо в виде
                                          »
     ∆g(−1, 0) = g(x, y) − g(−1, 0) = cos 5 y(x + 1) − 1 = o(ρ) при ρ 0,
         »
где ρ = (x + 1)2 + y2 . В частности, для точек прямой y = x + 1 при x −1
получим                      »
                          cos 5 (x + 1)2 − 1 = o(Sx + 1S).
   Однако, последнее равенство неверно. Действительно, преобразовав
левую часть, получим
                                         (x + 1)2~5
                         −2 sin2                    = o(Sx + 1S)   при x      −1,
                                             2
что, очевидно, не является верным, так как
                             (x + 1)2~5    (x + 1)4~5
                −2 sin2                 −            x o(Sx + 1S)         при x     −1.
                                 2             2
    Таким образом, функция не является дифференцируемой в указанной
точке.
    Ответ. (a) fxœ (2, 0) = , fyœ (2, 0) = , функция дифференцируема.
                                  1            1
                                  4            4
(b) gxœ (−1, 0) = gœy(−1, 0) = 0, функция не дифференцируема.
   Геометрический смысл дифференцируемости функции f(x) в точке x0
                                                                  Ð
состоит в существовании касательной плоскости π и вектора нормали N ,
                          ∂ f(x0 )
                              n
                                                                    ∂ f(x0 )       ∂ f(x0 )
        π  y = f(x ) + Q          (xk − xk0 ),                N =‹
                    0                                          Ð
                                                                             ,...,          , −1
                            ∂xk                                         ∂x1            ∂xn
                             k=1

                                                           Ñ =  Ð N.
                                                                 1 Ð
к графику функции G f  y = f(x). Единичный вектор нормали n
                                                                                                UNU
      Плоскость π ⊂ Rn+1 (рис. 1 при n = 2) удовлетворяет условиям:

                                                        9

Страницы