Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 9 стр.

UptoLike

W
y( x + y)Sx 2S
4(ySx 2S+ 4)
»
( x 2)
2
+ y
2
W=
SySSx 2S
»
( x 2)
2
+ y
2
ċ
Sx + yS
4
T
ySx 2S+ 4
T
= o(ρ) при ρ 0,
поскольку 0 <
SySSx 2S
»
( x 2)
2
+ y
2
D Sx 2Sи, следовательно,
SySSx 2S
»
( x 2)
2
+ y
2
беско-
нечно малая, а второй множитель, функция
Sx + yS
4
T
ySx 2S+ 4
T
ограничен при
(x, y) (2,0)как функция, имеющая конечный предел.
(b) Найдем: g(1, 0)= 1, g(x,0)= 1, g(1, y)= 1. Поэтому g
x
(1,0)=
= g
y
(1,0)= 0.
Если g(x, y)дифференцируема в точке M
0
, то ее приращение предста-
вимо в виде
g(1, 0)= g(x, y) g(1, 0)= cos
5
»
y(x + 1) 1 = o(ρ) при ρ 0,
где ρ =
»
(x + 1)
2
+ y
2
. В час тности, для точек прямой y = x + 1 при x 1
получим
cos
5
»
(x + 1)
2
1 = o(Sx + 1S).
Однако, последнее равенство неверно. Действи тельно, преобразовав
левую часть, получим
2 sin
2
( x + 1)
2~5
2
= o(Sx + 1S) при x 1,
что, очевидно, не является верным, так как
2 sin
2
( x + 1)
2~5
2
( x + 1)
4~5
2
x o(Sx + 1S) при x 1.
Таким образом, функция не является диф ференцируемой в у казанной
точке.
Ответ. (a) f
x
(2,0) =
1
4
, f
y
(2,0) =
1
4
, функция дифференцируема.
(b) g
x
(1,0)= g
y
(1,0)= 0, функция не дифференцируема.
Геометрический смысл дифференцируемости функции f(x)в точке x
0
состоит в существовании касательной плоскости π и вектора нормали
Ð
N,
π y = f(x
0
)+
n
Q
k=1
f(x
0
)
∂x
k
(x
k
x
0
k
),
Ð
N =
f(x
0
)
∂x
1
, . . . ,
f(x
0
)
∂x
n
, 1
к графику функции G
f
y = f(x). Единичный вектор нормали
Ñ
n =
1
U
Ð
NU
Ð
N.
Плоскость π R
n+1
(рис. 1 при n = 2) удовле творяет условиям:
9