Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 5 стр.

    Множество E ⊂ Rn называется замкнутым, если оно содержит все свои
предельные точки. Множество E ⊂ Rn называют открытым, если все его
точки принадлежат ему вместе с некоторой окрестностью, то есть явля-
ются его внутренними точками. Граничной точкой множества E называют
точку, в любой окрестности которой есть точки из E и из его дополнения.
Открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое со-
держит все свои граничные точки. Все Rn и пустое множество g считаются
одновременно и открытыми и замкнутыми множествами.
    Ограниченное замкнутое множество E ⊂ Rn называется компактным.
    Множество E ⊂ Rn называется линейно связным, если для любых двух
точек x1 , x2 > E найдется непрерывная кривая Γ — множество точек Rn,
описываемое уравнениями x1 = x1 (t), . . . , xn = xn(t); α D t D β, лежащая
в E и такая, что x1 = (x1 (α), . . . , xn(α)), x2 = (x1 (β), . . . , xn(β)).
    Открытое линейно связное множество называется областью; область
вместе со своими граничными точками называют замкнутой областью.
    Определение (Коши). Пусть функция f(x) определена на множестве
E ⊂ Rn и x0 — предельная точка E. Число A называется пределом функции
f(x) в x0 , запись lim0 f(x) = A, если
                    x x

          ∀ε A 0 §δ A 0 ∀x > E        0 < Sx − x0 S < δ  S f(x) − AS < ε.

   Определение (Гейне). Пусть функция f(x) определена на множестве
E ⊂ Rn и x0 — предельная точка E. Число A называется пределом функции
f(x) в x0 , если для любой последовательности точек ˜x p такой, что

                          x p > E, x p x x0 ,   lim x p = x0
                                                p ª


существует предел числовой последовательности lim f(x p) = A.
                                                          p ª
   Определения Коши и Гейне равносильны. Свойства предела функции
нескольких переменных совпадают со свойствами предела функций одной
переменной.
   Если множество G является подмножеством области определения E
функции f(x), и x0 — предельная точка G, то пределом f(x) по G назы-
вают число lim 0 f(x) = lim0 φ(x), где φ = fTG — сужение f на G.
            G?x x           x x
   Определение.       Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 > E,
если


                                           5