Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 5 стр.

UptoLike

Множес тво E R
n
называется замкнутым, если оно содержит все свои
предельные точки. Множество E R
n
называют открытым, если все его
точки принадлежат ему вместе с некоторой окрестностью, то есть явля-
ются его внутренними точками. Граничной точкой множес тва E называют
точку, в любой окрестности которой есть точки из E и из его дополнения.
Открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое со-
держит все свои граничные точки. Все R
n
и пустое множество g считаются
одновременно и открытыми и замкнутыми множествами.
Ограниченно е замкнутое множество E R
n
называется компактным.
Множес тво E R
n
называется линейно связным, е сли для любых двух
точек x
1
, x
2
> E найдется непрерывная кривая Γ множество точек R
n
,
описываемое уравнениями x
1
= x
1
(t), . . . , x
n
= x
n
(t); α D t D β, лежащая
в E и такая, что x
1
= (x
1
(α), . . . , x
n
(α)), x
2
= (x
1
(β), . . . , x
n
(β)).
Открытое линейно связное множество называется областью; область
вместе со своими граничными точками называют замкнутой областью.
Определение (Коши). Пусть функция f(x)определена на множестве
E R
n
и x
0
пр едельная точка E. Число A называется пределом функции
f(x)в x
0
, запись lim
xx
0
f(x)= A, если
ε A 0 §δ A 0 x > E 0 < Sx x
0
S< δ Sf(x) AS< ε.
Определение ейне). Пусть функция f(x)определена на множестве
E R
n
и x
0
пр едельная точка E. Число A называется пределом функции
f(x)в x
0
, если для любой последовательности точек x
p
такой, что
x
p
> E, x
p
x x
0
, lim
pª
x
p
= x
0
существует предел числов ой последовательности lim
pª
f(x
p
)= A.
Определения Коши и Гейне равносильны. Свойства предела функции
нескольких переменных с овпадают со свойствами предела функций одной
переменной.
Если множество G является подмножеством области определения E
функции f(x), и x
0
пр едельная точка G, то пределом f(x)по G назы-
вают число lim
G?xx
0
f(x)= lim
xx
0
φ(x), где φ = f
T
G
сужение f на G.
Определение. Функция f(x)называется непрерывной в точке x
0
> E,
если
5