Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

22. F = u − v − y− 2, G = uv − xy − 3; x
0
= 1, y
0
= −1, u
0
= 2, v
0
= 1.
23. F = u − v − x, G = u
2
− v
2
+ y; x
0
= 1, y
0
= 1, u
0
= 0, v
0
= −1.
24. F = u
2
− v − 3, G = v
2
+ u − x − y − 1; x
0
= −1, y
0
= −1, u
0
= −2, v
0
= 1.
25. F = u + yv − 1, G = uv + x − 1; x
0
= −1, y
0
= −1, u
0
= 2, v
0
= 1.
26. F = u − v + x, G = u
2
− v
2
− y; x
0
= 1, y
0
= −1, u
0
= 0, v
0
= 1.
27. F = u + v − x − y + 2, G = u
2
+ yv − 2; x
0
= 1, y
0
= 1, u
0
= 2, v
0
= −2.
28. F = u
2
+ v − 2 x, G = v
2
− u − 2 y − 2; x
0
= 1, y
0
= −1, u
0
= 1, v
0
= 1.
29. F = ux + yv − 3, G = uv − x − y; x
0
= 1, y
0
= 1, u
0
= 2, v
0
= 1.
30. F = u − v + x + y, G = uv + 2 xy − 2; x
0
= 1, y
0
= 0, u
0
= 1, v
0
= 2.
Задача 10. Преобразовать выражение F = F(x, y, z, z
x
, z
y
, z

xx
, z

xy
, z

yy
),
где z = z(x, y)— дважды непрерывно дифф еренцируемая функция, к но-
вым переменным u и v.
1. F =
1
2
z

xy
+
2
x
6
z

yy
−
2
x
3
z

xy
+
3
x
4
z
y
; u = y− x
−2
, v = x
2
.
2. F = yz

yy
−
x
2
y
z

xx
+ z
y
−
x
y
z
x
; u =
º
xy, v =
½
y
x
.
3. F = z

xx
− z

yy
; u =
1
2
º
2 x + 2 y, v =
1
2
º
2 x − 2 y.
4. F = x
4
yz

xx
+ 2yx
2
z

xy
+ yz

yy
+ 2x
3
yx
x
; u =
1
x
+ y, v =
º
y.
5. F = 2
º
xz

xy
−
1
2
z

yy
− 2xz

xx
− z
x
; u =
º
x + y, v =
º
y.
6. F = 2 x
2
y
2
z

xy
− y
4
z

yy
− 2 x
2
yz
x
; u = x
−1
+ y
−1
, v = y.
7. F =
1
2
(z

xx
− z

yy
)+ (x − y)(z
x
+ z
y
); u = x − y, v =
º
x + y.
8. F = 2xz

xx
− 2yz

yy
+ z
x
− z
y
; u =
º
x +
º
y, v =
º
x −
º
y.
9. F = xz

xx
− 2yz

xy
+ y
3
z

yy
+ 2z
x
; u =
y
xy− 1
, v = y.
10. F = 2 z

xx
+ y
3
z

xy
; u = x + y
−2
, v = y
2
.
11. F = z

xx
−
y
2
x
2
z

yy
+
1
x
z
x
−
y
x
2
z
y
; u =
º
xy, v =
½
x
y
.
12. F = z

xx
+
1
2y
z

xy
; u = (x − y
2
)
−1
, v = y
2
.
54
  22. F = u − v − y − 2, G = uv − xy − 3;                   x0 = 1, y0 = −1, u0 = 2, v0 = 1.
  23. F = u − v − x, G = u2 − v2 + y;                x0 = 1, y0 = 1, u0 = 0, v0 = −1.
  24. F = u2 − v − 3, G = v2 + u − x − y − 1;                   x0 = −1, y0 = −1, u0 = −2, v0 = 1.
  25. F = u + yv − 1, G = uv + x − 1;                x0 = −1, y0 = −1, u0 = 2, v0 = 1.
  26. F = u − v + x, G = u2 − v2 − y;                x0 = 1, y0 = −1, u0 = 0, v0 = 1.
  27. F = u + v − x − y + 2, G = u2 + yv − 2;                    x0 = 1, y0 = 1, u0 = 2, v0 = −2.
  28. F = u2 + v − 2 x, G = v2 − u − 2 y − 2;                   x0 = 1, y0 = −1, u0 = 1, v0 = 1.
  29. F = ux + yv − 3, G = uv − x − y;                    x0 = 1, y0 = 1, u0 = 2, v0 = 1.
  30. F = u − v + x + y, G = uv + 2 xy − 2;                    x0 = 1, y0 = 0, u0 = 1, v0 = 2.

    Задача 10. Преобразовать выражение F = F(x, y, z, zœx , zœy, zœœxx , zœœxy, zœœyy),
где z = z(x, y) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, к но-
вым переменным u и v.
            1           2 œœ      2         3
   1. F = zœœxy +           zyy − 3 zœœxy + 4 zœy; u = y − x−2 , v = x2 .
                                                             ½
            2           x 6      x         x
                     x2 œœ         x               º             y
   2. F = yzœœyy −      zxx + zœy − zœx ;       u = xy, v =        .
                      y            y                            x
                                1º                   1º
   3. F = zœœxx − zœœyy; u =        2 x + 2 y, v =       2 x − 2 y.
                                2                    2
                                                             1        º
   4. F = x4 yzœœxx + 2yx2 zœœxy + yzœœyy + 2x3 yxxœ ; u = + y, v = y.
                                                             x
           º œœ 1 œœ                                   º            º
   5. F = 2 xzxy − zyy − 2xzœœxx − zœx ; u = x + y, v = y.
                         2
   6. F = 2 x2 y2 zœœxy − y4 zœœyy − 2 x2 yzœx ;
                                             u = x−1 + y−1 , v = y.
                                                                 º
   7. F = (zœœxx − zœœyy) + (x − y)(zœx + zœy); u = x − y, v = x + y.
          1

                                             º     º          º     º
          2
   8. F = 2xzœœxx − 2yzœœyy + zœx − zœy; u = x + y, v = x − y.
                                                                y
   9. F = xzœœxx − 2yzœœxy + y3 zœœyy + 2zœx ;        u=             , v = y.
                                                              xy − 1
  10. F = 2 zœœxx + y3 zœœxy;     u = x + y−2 , v = y2 .
                                                                        ½
                     y2        1      y                   º                 x
  11. F =   zœœxx   − 2 zœœyy + zœx − 2 zœy;       u=         xy, v =         .
                     x         x     x                                      y

                                 u = (x − y2 )−1 , v = y2 .
                       1 œœ
  12. F = zœœxx +        z ;
                      2y xy


                                                     54

Страницы