Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

19. x = e
t
2
−2 t−3
, y = te
t−3
, z = t
2
− 2 t − 3; t
0
= 3.
20. x = arcsin
½
t
π
, y =
½
t
π
−
º
3
2
, z = arccos 2
t
π
− 1; t
0
=
3π
4
.
21. x = 5
t
t
3
− 3
, y =
2 t + 1
t
3
− 3
, z = t
2
; t
0
= 2.
22. x = 4 sin
2
t, y = 3 sin t cos t, z = 2 cos
2
t; t
0
= π4.
23. x = sh 2 t + ch 2 t, y = 8 sh
2
t + 1~2, z = 4 ch
2
t − 1~4; t
0
= ln 2.
24. x = 1~2 + ln tg
t
2
, y = ln (sin t + cos t), z = sin
t
2
cos
t
2
; t
0
=
π
2
.
25. x = 3
1
º
t
2
+ t + 3
, y =
1 + t
º
t
2
+ t + 3
, z =
º
t
2
+ t + 3; t
0
= 2.
26. x = e
t
cos
π
2
t + sin πt, y = e
t
cos πt − sin
π
2
, z = 2 e
t
; t
0
= 2.
27. x =
1 +
º
t
2
+ 5
t
, y = 1 −
º
t
2
+ 5, z = t
º
t
2
+ 5; t
0
= −2.
28. x = t
−2
− t
−1
+ 2, y = t
−2
+ t
−1
− 1, z = t − t
−1
; t
0
= 1.
29. x = ln t, y =
e
t
, z = ln
2
(t
2
+ te)− 2 ln 2; t
0
= e.
30. x = 2 cos
t
3
+ cos
2t
3
, y =
2
º
3
3
sin
t
3
, z =
º
3
3
sin
2t
3
; t
0
= π.
Задача 17. Написать ур авнения касательной плоскости и нормальной
прямой в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)к поверхности S, заданной параметрически
S
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u,v),
если x
0
= x(u
0
,v
0
), y
0
= y(u
0
,v
0
), z
0
= z(u
0
,v
0
).
1. x =
1
»
(u + 4)(v − 4)
, y =
1
»
(u − 4)(v + 4)
, z =
º
uv; u
0
= 5, v
0
= 5.
2. x = v + ln (u
2
+ v
2
), y = ln (u
2
− v
2
), z =
u
e
+ v; u
0
= e, v
0
= 0.
3. x = 4 sh u cos v, y = 6 sh u sin v, z = ch
2
u + cos
2
v; u
0
= ln 2, v
0
=
π
4
.
4. x = u 3 v
2
− u
2
−
1
3
, y = v 3 u
2
− v
2
−
1
3
, z = 2 uv; u
0
= 1, v
0
=
1
3
.
5. x = u +
6
1 + v
, y = v −
6
2 − u
, z = (1 + v)(2 − u); u
0
= 1, v
0
= −2.
64
              2
  19. x = e t −2 t−3 , y = te t−3 , z = t2 − 2 t − 3; t0 = 3.
                   ½            ½        º
                                      − , z = arccos Š2 − 1 ;
                        t           t      3               t                              3π
  20. x = arcsin          , y=                                                     t0 =      .
                          π           π      2                     π                       4
                   t       2t+1
  21. x = 5           , y = 3 , z = t2 ;         t0 = 2.
              t3   −3       t −3
  22. x = 4 sin2 t, y = 3 sin t cos t, z = 2 cos2 t;             t0 = π4.
  23. x = sh 2 t + ch 2 t, y = 8 sh2 t + 1~2, z = 4 ch2 t − 1~4;                  t0 = ln 2.
  24. x = 1~2 + ln Štg  , y = ln (sin t + cos t) , z = sin cos ;
                              t                                            t      t              π
                                                                                          t0 = .
                       2                                   2   2                                 2
                 1            1+t           º
  25. x = 3 º 2       , y= º 2        , z = t2 + t + 3; t0 = 2.
               t +t+3         t +t+3
  26. x = e t Šcos t + sin πt , y = e t Šcos πt − sin  , z = 2 e t ;
                  π                                   π
                                                                                          t0 = 2.
                  2                                   2
               º
          1 + t2 + 5          º              º
  27. x =            , y = 1 − t2 + 5, z = t t2 + 5; t0 = −2.
                t
  28. x = t−2 − t−1 + 2, y = t−2 + t−1 − 1, z = t − t−1 ;               t0 = 1.
  29. x = ln t, y = , z = ln2 (t2 + te) − 2 ln 2;
                          e
                                                                 t0 = e.
                          t
                             º            º
               t     2t     2 3    t       3    2t
  30. x = 2 cos + cos , y =     sin , z =    sin ;                             t0 = π.
               3     3       3     3      3     3
   Задача 17. Написать уравнения касательной плоскости и нормальной
прямой в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) к поверхности S, заданной параметрически
                                              ¢̈ x = x(u, v),
                                              ¨
                                              ¨
                                              ¨
                                          S  ¦ y = y(u, v),
                                              ¨
                                              ¨
                                              ¨ z = z(u, v),
                                              ¤̈
если x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), z0 = z(u0 , v0 ).
                      1                          1                 º
    1. x = »                      , y= »                     ,z=       uv;      u0 = 5, v0 = 5.
               (u + 4) (v − 4)             (u − 4) (v + 4)

   2. x = v + ln (u2 + v2 ) , y = ln (u2 − v2 ) , z =
                                                                 u
                                                                   + v;        u0 = e, v0 = 0.
                                                                 e
                                                                                                  π
   3. x = 4 sh u cos v, y = 6 sh u sin v, z = ch2 u + cos2 v;                    u0 = ln 2, v0 = .
                                                                                                  4
   4. x = u Š3 v2 − u2 −  , y = v Š3 u2 − v2 −  , z = 2 uv;
                                  1                          1                                    1
                                                                                      u0 = 1, v0 = .
                                  3                          3                                    3
                                   , z = (1 + v) (2 − u) ;
                    6           6
   5. x = u +          , y= v−                                             u0 = 1, v0 = −2.
                   1+v         2−u

                                                     64

Страницы