Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

19
непрерывной случайной величины аналогично дискретной плотно-
сти невозможно. Но можно вполне корректно определить по анало-
гии с дискретным случаем функцию распределения непрерывной
случайной величины.
Пусть ξ – случайная величина и
х – произвольное число. Тогда
Р(ξ ≤ х) – вероятность того, что случайная величина ξ не больше,
чем
х, является функцией х:
F(x) = P(ξ ≤ x), (2.5)
и называется
функцией распределения непрерывной случайной вели-
чины.
Отметим некоторые свойства функции распределения:
1)
F(x) – неубывающая функция х;
2) 0 ≤ F(x) ≤ 1;
3)
Р(х
1
≤ ξ ≤ х
2
) = F(x
2
) – F(x
1
).
Пусть функция F(x) непрерывна на бесконечном интервале (–∞,
∞). Определим
плотность распределения вероятностей f(x) выра-
жением
0
()()
() lim ().
x
Fx x Fx
f
xFx
x
Δ→
+Δ −
′
==
Δ
(2.6)
Очевидно:
() ()d.
x
Fx f
−∞
=ξξ
∫
(2.7)
Кроме того, по формуле Ньютона–Лейбница
()()d()().
b
a
Pa b f Fb Fa≤ξ≤ = ξ ξ= −
∫
(2.8)
Наконец:
()d 1.fx x
+∞
−∞
=
∫
Эти факты вполне очевидны. Их доказательства мы не приво-
дим.
Для векторных случайных величин вводят совместное распреде-
ление вероятностей. Пусть (ξ
1
, ξ
2
) – двумерная случайная величина.
Совместная функция распределения задается равенством
12 1 12 2
(, ) ( , ).=ξ≤ξ≤
F
xx P x x
20
Аналогично предыдущему вводят двумерную плотность распре-
деления вероятностей f(x
1,
x
2
), связанную с функцией распределения
соотношением
12
12 12 1 2
(, ) (, )dd.
xx
Fx x f
−∞ −∞
=
ξξ ξξ
∫∫
Вероятность попадания точки (ξ
1
, ξ
2
) в область В вычисляют по
формуле
12 12 1 2
((,) ) (,)dd.
B
PBf
ξ
ξ∈ = ξξ ξξ
∫∫
Если случайные величины ξ
1
, ξ
2
независимы, то
12 1 2
(, ) ()( )
=
f
xx fx fx ,
в противном случае
12 1 2 1 2 1 2
(, ) ()( | ) ( )( | )
=
=
xx fx fx x fx fx x
.
2.2.2. Числовые характеристики случайной величины
Случайная величина полностью определяется законом распреде-
ления вероятностей. Но иногда закон распределения неизвестен, и
приходится довольствоваться числовыми характеристиками слу-
чайной величины, оценки которых удается получить на основании
эксперимента. Важнейшие из них – математическое ожидание и
дисперсия.
Математическим ожиданием М(х) дискретной случайной вели-
чины называют сумму произведений всех ее возможных значений
на их вероятности
1
() .
=
==
∑
n
x
kk
k
M
xm xp
(2.9)
Для непрерывной случайной величины сумма заменяется инте-
гралом, а дискретное распределение – плотностью распределения
вероятностей
() ()d.
x
M
xm xfxx
+∞
−∞
==
∫
(2.10)

Страницы