Составители:
Рубрика:
21
Как следует из определения, математическое ожидание есть
взвешенное по вероятности среднее значение случайной величины.
Следующие свойства математического ожидания почти оче-
видны.
Среднее значение постоянной равно самой постоянной
() .
M
aa=
Если а – неслучайная константа, то
() (),
()().
Max aMx
M
xa Mx a
=
+= +
Математическое ожидание суммы конечного числа случайных
величин равно сумме математических ожиданий отдельных слагае-
мых.
Математическое ожидание произведения независимых случай-
ных величин равно произведению математических ожиданий со-
множителей.
Дисперсия случайной величины характеризует разброс ее значе-
ний вокруг математического ожидания. По определению, дисперсия
D(х) случайной величины равна математическому ожиданию квад-
рата
ее отклонения от математического ожидания.
Таким образом, для дискретной случайной величины
22
1
() ( ) ( )
=
== − = −
∑
n
x
xkxk
k
D
xDMxm xmP, (2.11)
для непрерывной случайной величины
22
() ()()()d.
xx x
D
xDMxm xm fxx
+∞
−∞
== − = −
∫
(2.12)
Случайная величина
()−
x
xm носит название центрированной.
Следующие свойства дисперсии почти очевидны.
1.
Дисперсия постоянной равна нулю.
2.
Если a неслучайная константа, то
2
() (), ( ) ().Dax aDx Dx a Dx=+=
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме дисперсий отдельных слагаемых.
22
В ряде случаев вместо дисперсии пользуются среднеквадратичным
отклонением ()
σ
=σ
x
x , равным квадратному корню из дисперсии:
() ()σ=σ=
x
x
Dx . (2.13)
Эта характеристика имеет размерность самой случайной вели-
чины.
Пусть х и у – две, в общем случае, зависимые случайные вели-
чины. Степень зависимости (связи) двух случайных величин оцени-
вается корреляционным моментом K(х, у).
По определению, корреляционным моментом K(х, у) называется
математическое ожидание произведения центрированных случай-
ных величин х
, у
(, ) ( )( )
()()(,)dd.
xy x y
xy
Kxy K M x m y m
x
mymfxyxy
+∞ +∞
−∞ −∞
⎡
⎤
=
=−−=
⎣
⎦
=−−
∫∫
Очень часто для оценки тесноты связи между двумя случайными
величинами используют коэффициент корреляции
.
x
y
xy
x
y
K
ρ=
σ
σ
(2.14)
Коэффициент корреляции – безразмерная величина и обладает
очень наглядными и удобными свойствами.
1. 11
−
≤ρ ≤
xy
.
2.
Если 0
ρ
=
xy
, то между случайными величинами отсутствует
линейная связь.
3.
Если 1
ρ
=±
xy
, то между х и у имеется детерминированная
линейная связь.
В остальных случаях между х и у имеется более или менее тес-
ная случайная (стохастическая) зависимость.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Если случайные ве-
личины х и у независимы, то 0
=
ρ=
xy xy
K . Обратное неверно.
Равенство нулю корреляционного момента означает лишь
отсутствие линейной связи между х и у. Нелинейная зависимость
между х и у может при этом существовать.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
