Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

25
Стандартное распределение может быть легко протабулировано.
Но можно пойти еще дальше.
Функция
0
1
() ()
2
=−Ф xFx
нечетная, то есть () ()
−
=−Ф x Ф x . Поэтому таблицу значений доста-
точно составить для х>0. Функция ()Ф x называется функцией Лап-
ласа. Используя равенство
2
0
2
0
11
d(0),
2
2
x
exF
−
−∞
==
π
∫
ее можно представить в виде
2
2
00
0
1
() () (0)
2
ξ
−
=
−= ξ
π
∫
x
Ф xFxF ed.
Таблица значений этой функции приведена в прил. (табл. П1).
Случайная величина ξ
0
, имеющая стандартное распределение,
называется нормированной.
Для нее
102 02 01
()()()
≤
ξ≤ = −Px x F x F x .
Но так как, по определению:
01 1
1
() () ,
2
=
+Fx Ф x
02 2
1
() ()
2
=+Fx Ф x
,
то
102 2 1
()()()
≤
ξ≤ = −Px x Ф x Фх .
Если некоторое
x
< 0 , то используют свойство нечетности
() (| |)=−Ф x Ф x .
Вернемся теперь к ненормированной случайной величине ξ. Со-
вершенно очевидно, что если ξ изменяется в пределах от
1
x
до
2
x
:
26
12
ξ≤
x
x ,
то ξ
0
изменяется в пределах
12
0
−
−
≤ξ ≤
σ
σ
x
axa
.
Отсюда немедленно получаем
21
12
() .
−−
⎛⎞⎛⎞
≤ξ≤ = −
⎜⎟⎜⎟
σσ
⎝⎠⎝⎠
x
axa
Px x ФФ
(2.16)
Часто бывает необходимо найти вероятность того, что отклоне-
ние случайной величины от математического ожидания по модулю
не превзойдет некоторого заданного числа δ, то есть найти вероят-
ность
()
−
δ≤ξ≤ +δPa a .
Для нормированной случайной величины
а=0, поэтому
0
(| |
ξ
P <) 2 ()
δ
=δФ .
Для ненормированной случайной величины в соответствии с
(2.16)
(| | ) 2
σ
⎛⎞
ξ− ≤δ =
⎜⎟
δ
⎝⎠
P аФ
.
Полезно запомнить следующие соотношения:
(| | ) 2 (1) 0,6826;
(| | 2 ) 2 (2) 0,9544;
(| | 3 ) 2 (3) 0,9973.
Pa Ф
Р a Ф
Р a Ф
ξ
−≤σ= =
ξ− ≤ σ = =
ξ− ≤ σ = =
Последнее соотношение называют правилом трех сигм: значе-
ния случайной величины, распределенной нормально, с вероятно-
стью 99,73% лежат в пределах
33
−
σ≤ ≤ + σaxa.
Это правило можно сформулировать и так: отклонения от мате-
матического ожидания, большие чем 3σ, практически невозможны.

Страницы