Составители:
Рубрика:
27
Поскольку нормальное распределение является предельным для
многих других распределений, то правило трех сигм часто приме-
няют к другим распределениям.
В дальнейшем мы часто будем использовать характеристику
распределения, называемую квантилем распределения. Удобно вве-
сти ее на примере нормального распределения.
Квантилем
p
x
случайной величины ξ, имеющей распределение
F(x), называется решение уравнения
()=
p
F
xp.
Таким образом, квантиль
p
x
– это такое значение случайной ве-
личины ξ, что
(ξP <)=
p
x
p .
По сути дела, квантиль есть функция, обратная F(x). Она введена и
табулирована для удобства различных вычислений. В прил. (табл. П2)
приведены квантили стандартного нормального распределения. При от-
сутствии таких таблиц для вычисления квантилей можно воспользовать-
ся таблицей функции Лапласа (табл. П1).
Обозначим квантиль стандартного нормального распределения
через u
p
. Если
p
<
1
2
, то находим
p
x
, для которого
1
()
2
=
−
p
Ф xp.
Очевидно:
u
p
= –
p
x
.
Если
p
>
1
2
, то находим
p
x
, для которого
1
()
2
=
−
p
Ф xp, и, соот-
ветственно:
u
p
=
p
x
.
Наконец, квантиль общего нормального распределения U
p
опре-
деляется равенством
U
p
=
+σa
u
p
.
Пусть известны x
p
и х
q
, q<р. Тогда
28
P(x
q
< x < x
p
) = p – q.
Квантиль
0,5
x
называется медианой и для нормального распре-
деления
0,5
=
x
a .
2.4. Предельные теоремы теории вероятностей
Случайные события и случайные величины подчинены опреде-
ленным закономерностям, которые позволяют прогнозировать их
поведение и качественно оценивать некоторые их характеристики.
Оценки характеристик производятся при ограниченном числе на-
блюдений над случайными величинами. Поэтому принципиально
важно знать, как ведут себя статистические оценки при увеличении
числа наблюдений. Совокупность теорем, устанавливающих устой-
чивость таких оценок
, называют законом больших чисел. Сюда от-
носятся теоремы Бернулли, Пуассона, Чебышева, Маркова и др. Для
наших целей закон больших чисел мы сформулируем в виде сле-
дующей теоремы.
Пусть
12
, , ,
n
x
xx… – независимые случайные величины, имею-
щие одинаковые распределения и, в частности, одинаковые
математические ожидания
()
k
aMx
=
и диспер-
сии
2
()
k
Dxσ= , 1, 2, , kn
=
… . Обозначим через
x
их среднее зна-
чение
1
1
.
n
k
k
x
x
n
=
=
∑
Очевидно:
() ,
M
xa
=
2
2
1
1
() ( )
n
k
k
Dx Dx
n
n
=
σ
==
∑
.
Тогда, согласно неравенству Чебышева:
(| |
−
Px a>
2
2
22
1
)()
σ
ε≤ − =
ε
ε
Mx a
n
.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
