Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

29
Каково бы ни было δ>0, при достаточно большом n , n>
2
2
1σ
δ
ε
,
среднее арифметическое
x
с вероятностью, не меньшей
1
−
δ
, бу-
дет удовлетворять неравенству
||−≤εxa ,
где ε сколь угодно мало.
Практический смысл закона больших чисел можно понять, на-
пример, из теоремы Чебышева.
Если в n независимых опытах получены n значений
12
, , ,
n
x
xx…
случайной величины
x
, то среднее арифметическое
наблюденных значений сходится по вероятности к ее математиче-
скому ожиданию.
Характерные закономерности наблюдаются также в распределе-
ниях случайных величин, которые образуются в результате сложе-
ния большого числа малых воздействий. Такими случайными вели-
чинами могут быть, например, суммарная бытовая электрическая
нагрузка или суммарное потребление газа бытовыми потребителями
в
некоторый момент времени, суммарная выручка магазина за опре-
деленный период и т. д. Выражением подобных закономерностей
является центральная предельная теорема.
Если
12
, , ,
n
x
xx…
– независимые, одинаково распределенные
случайные величины с математическим ожиданием a и дисперсией
2
σ , то при →∞n закон распределения их суммы
1=
∑
n
i
i
неограни-
ченно приближается к нормальному
lim
n→∞
1
n
i
i
xna
a
n
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
<
<β
⎜⎟
σ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
2
2
1
d
2
t
et
−
β
α
=
π
∫
.
Центральная предельная теорема при некоторых ограничениях
справедлива и для сумм случайных величин, имеющих неодинако-
вые распределения.
30
Частный случай центральной предельной теоремы – теорема
Лапласа – устанавливает, что при неограниченном возрастании n
биноминальное распределение стремится к нормальному. Таким же
свойством обладает рассматриваемое в следующем разделе распре-
деление Стьюдента и некоторые другие распределения. Именно по-
этому мы рассмотрели выше нормальное распределение достаточно
подробно.
На этом мы заканчиваем краткое введение в теорию
вероятно-
стей. Читатель, желающий изучить курс теории вероятностей более
основательно, может обратиться к обширной учебной литературе,
список которой приведен в конце пособия.

Страницы