Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

33
1
.
i
x
x
n
=
∑
(3.1)
Выборочная дисперсия
2
2
1
() .
1
x
ix
D
xx s
n
=−=
−
∑
(3.2)
Выборочное среднеквадратичное отклонение
.=
x
x
s
D (3.3)
Выборочный корреляционный момент
1
()().
1
xy i i
Kxxyy
n
=−−
−
∑
(3.4)
Выборочный коэффициент корреляции
.=
x
y
xy
x
y
K
r
s
s
(3.5)
Отметим одно важное обстоятельство. В выражениях для выбо-
рочной дисперсии и выборочного корреляционного момента вместо
ожидаемого объема выборки n стоит величина n–1. Причина этого в
том, что величина
2
()
i
x
n
−
∑
является смещенной оценкой дис-
персии, а
()()
ii
x
xy y
n
−
−
∑
– смещенная оценка корреляционного
момента.
Можно показать, что
2
()
1
,
i
x
xx
n
M
D
nn
⎛⎞
−
−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
()()
1
.
ii
x
y
xxyy
n
M
K
nn
⎛⎞
−−
−
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
Приведенные выше оценки
x
D и
x
y
K – несмещенные. В общем
случае в знаменателе оценки записывается так называемое число
степеней свободы, равное объему выборки минус число параметров,
используемых в выражении оценки и найденных по той же выборке.
34
В рассмотренном случае в выражениях оценки дисперсии и корре-
ляционного момента использовано выборочное среднее. Поэтому в
знаменателе соответствующих оценок записано
n–1.
Выборочные оценки сами являются случайными величинами.
Поэтому важно установить, насколько сильно они могут отклонять-
ся от истинных значений параметров. На основании выборочных
оценок можно установить интервалы, внутри которых с некоторой
вероятностью находятся истинные значения параметров. Такие ин-
тервалы называются
доверительными, а оценки такого типа – ин-
тервальными
.
3.3. Интервальные оценки параметров
Интервальной оценкой параметра θ называется интервал (θ
1
, θ
2
),
который с заданной вероятностью 1–
р накрывает неизвестное зна-
чение параметра.
Интервал (θ
1
, θ
2
) называется доверительным интервалом, а ве-
роятность 1–
р – доверительной вероятностью. Вероятность р назы-
вается
уровнем значимости.
Изучая нормальное распределение, мы установили, что случай-
ная величина
x с математическим ожиданием a и среднеквадратич-
ным отклонением σ с вероятностью 1–
р лежит в интервале
1 1
22
p
p
aU xaU
−−
−
σ≤≤+σ,
где
1
2
p
U
−
– соответствующий квантиль стандартного нормального
распределения. Этот интервал и есть доверительный интервал для
случайной величины
х. Выборочные оценки являются случайными
величинами. Если установлены их законы распределения, то анало-
гичным образом можно найти доверительные интервалы для истин-
ных значений параметров. Расчеты выполняются в следующем по-
рядке:
−
устанавливается закон распределения оценки, а точнее, неко-
торой функции от нее, называемой
статистикой;
−
задается доверительная вероятность;
−
определяются квантили распределения;
−
вычисляются границы доверительного интервала.

Страницы