Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В этом разделе мы рассмотрим понятия и методы математиче-
ской статистики, необходимые для построения и анализа экономет-
рических моделей, в том числе основные принципы выборочного
метода, точечные и интервальные оценки параметров, методы про-
верки статистических гипотез.
3.1. Выборочный метод
Суть выборочного метода состоит в следующем. Имеется неко-
торая, достаточно большая совокупность объектов, называемая ге-
неральной совокупностью, характеристики которой необходимо
изучить. Из этой совокупности извлекают n объектов, которые обра-
зуют выборку объема n. Выборку подвергают детальному исследо-
ванию, и по его результатам делают выводы о характеристиках ге-
неральной совокупности в целом
. Так, например, выборочный ме-
тод используется для контроля качества продукции, социологиче-
ских исследований, изучения общественного мнения путем выбо-
рочных опросов и т. д. Выборка должна носить случайный характер.
Поэтому любое суждение о генеральной совокупности по выборке
носит случайный, вероятностный характер.
В эконометрике генеральную совокупность, как правило, со-
ставляют возможные значения
случайной величины, непрерывной
или дискретной, а выборка образуется путем наблюдения некоторых
значений этой случайной величины. Схема наблюдений сводится к
следующему. Изучаемая случайная величина x принимает значения
из некоторого множества X
()
x
X∈ . В результате наблюдений по-
лучают n значений этой величины (
12
, , ...,
n
x
xx), которые образуют
выборку объема n. Условия наблюдения таковы, что появление ка-
ждого элемента x
i
, i=1, 2, …, n, равновероятно. Поэтому каждому
элементу x
i
приписывается вероятность 1/n.
Для того чтобы выборка достоверно описывала генеральную со-
вокупность, то есть была репрезентативной, наблюдения должны
удовлетворять следующим требованиям:
–
отсутствие систематических ошибок, то есть ошибок повто-
ряющихся и примерно одинаковых во всех наблюдениях;
32
– отсутствие грубых ошибок, связанных с резким и значитель-
ным нарушением условий эксперимента в одном или нескольких
наблюдениях;
–
случайный характер прочих ошибок.
При соблюдении этих условий истинный результат наблюдений
есть математическое ожидание соответствующей случайной вели-
чины.
3.2. Точечные оценки параметров
Генеральная совокупность характеризуется рядом параметров,
значения которых неизвестны. Такими параметрами могут быть ге-
неральное среднее m
x
, генеральная дисперсия D
x
и др. По данным
выборки можно получить оценки этих параметров, которые назы-
ваются точечными оценками. Естественно потребовать, чтобы по-
лученные по выборке оценки наилучшим образом приближали ис-
тинные значения параметров, то есть отвечали некоторым обяза-
тельным требованиям точности и эффективности. Таких требований
три.
Пусть θ – истинное значение параметра, а θ
n
– его точечная
оценка по выборке объема n.
Оценка называется состоятельной, если при
→∞n она сходит-
ся на вероятности к истинному значению параметра
lim (| |) ) 1
→∞
θ
−θ ≤ε =
n
n
P
для любого сколь угодно малого числа ε.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожи-
дание равно истинному значению параметра, то есть
()
θ
=θ
n
M .
Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую
дисперсию среди всех несмещенных оценок, найденных по той же
выборке.
Обычно оценки обозначают теми же терминами, что и сами па-
раметры, добавляя слово «выборочная».
Следующие оценки состоятельные, несмещенные и эффектив-
ные.
Выборочное среднее

Страницы