Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

15
2) Р (∅) = 0;
3)
Р (Ω) = 1;
4)
если
k
A ⊂Ω, k=1, 2, …, n попарно не пересекаются, то
1
1
()
=
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∪
n
n
kk
k
k
PA PA.
Следующие два свойства называют основными теоремами тео-
рии вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Пусть А, ⊂Ω
B
. В общем случае
( ) () () ( )∪= + − ∩PA B PA PB PA B. (2.1)
Если события А и В несовместны, то
( ) () ()∪= +PA B PA PB. (2.2)
Теорема умножения вероятностей
Прежде чем формулировать два варианта этой теоремы, опреде-
лим важнейшее понятие теории вероятности, понятие зависимости и
независимости событий.
События А и В называются независимыми, если тот факт, что
событие А произошло, не изменяет
вероятности появления события
В и наоборот. В противном случае события А и В называются зави-
симыми.
В общем случае теорема умножения вероятностей имеет вид
( ) ()( | ) ()( | )
∩
==PA B PAPB A PBPA B, (2.3)
где Р(А|B) называется условной вероятностью события А при усло-
вии, что событие В произошло. Аналогично определяется Р(В|А).
Если события А и В независимы, то Р(А|B) = Р(А), Р(В|А) = Р(В) и
( ) ()()∩=PA B PAPB. (2.4)
Проиллюстрируем это довольно сложное понятие
на примере.
Из колоды в 52 карты выбирается наугад одна. Пусть А – событие
«туз», В – событие «пиковая масть»:
4
()
52
=PA ,
13
() .
52
=PB
Если С – событие «туз пик», то
16
1
() .
52
=PC
С другой стороны:
.
=
∩CAB
Поскольку
1413
( ) ()()
52 52 52
∩= =⋅=PA B PAPB,
то события А и В независимы. Добавим в колоду джокера, который
не имеет масти. Теперь
4
()
53
=PA ,
13
()
53
=PB ,
1
() .
53
=PC
Очевидно:
() ()()
≠
PC PAPB ,
и, следовательно, события А и В зависимы. Действительно, появле-
ние события В – «пиковая масть» изменяет вероятность появления
события А, так как теперь известно, что карта не может быть джоке-
ром.
Следовательно:
1
(|) ,
13
PAB =
13 1 1
() ()( | ) ,
53 13 53
==⋅=PC PBPA B
что и следовало ожидать.
2.1.3. Случайные величины
В заключение подраздела рассмотрим важнейшее понятие тео-
рии вероятностей – понятие случайной величины. Существует весь-
ма обширный класс экспериментов, возможные исходы которых
характеризуются числами. Так, в опыте с бросанием двух игральных
костей такими числами являются суммы выпавших очков от 2 до 12.
Случайными числами характеризуются годовое количество осадков,

Страницы