Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

43
0
0,
∂
=
∂
Q
a
1
0,
∂
=
∂
Q
a
получаем линейную аппроксимацию с минимальной дисперсией.
Условия минимума имеют вид
01
0
1
()0
=
∂
=+−=
∂
∑
n
ii
i
Q
aaxy
a
,
01
1
1
()0
=
∂
=+−=
∂
∑
n
iii
i
Q
aaxyx
a
или после очевидных преобразований
01
+=
∑
∑
ii
an a x y,
2
01
.+=
∑∑∑
iiii
axax xy
Разделив оба уравнения на n, окончательно получаем
01
,
+
=axay
2
01
,+=
x
axaxy (4.4)
где параметры с чертой – соответствующие средние.
Решение системы линейных относительно
01
,
α
α уравнений
имеет вид
01
22
()
−
=− =−
−
x
yxy
ayxayx
x
x
,
1
22
()
−
=
−
x
yxy
a
x
. (4.5)
Коэффициент
1
α
называют выборочным коэффициентом рег-
рессии.
Тесноту линейной связи ранее мы характеризовали с помощью
коэффициента корреляции. Поэтому между коэффициентом регрес-
сии
1
α и коэффициентом корреляции r должна существовать ли-
нейная зависимость. Действительно:
()
2
1
2
2
22
2
2
1
11
/1
11
1
()/1
.
ii i i
iii
i
ii
ii
xy xy y y
xy
xy x x
x
xy x y n
xy x y
n
n
n
a
xx
xxn
n
n
n
KKs s
r
ss s s
s
⎛⎞
−−
−
⎜⎟
⎝⎠
== =
⎛⎞
−
−−
⎜⎟
⎝⎠
== =
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑
Таким образом:
44
1
=
y
xy
x
s
ar
s
или
1
=
x
xy
y
s
ra
s
. (4.6)
Поэтому уравнение регрессии можно записать в виде
0
.=+
y
xy
x
s
ya r x
s
(4.7)
Иногда удобно записывать уравнение регрессии в отклонениях
от соответствующих средних
1
()
−
=−yyaxx (4.8)
или в нормированных отклонениях
.
−
−
=
yx
yy xx
r
s
s
4.1.2. Оценка точности аппроксимации
Уравнение регрессии описывает усредненную зависимость вы-
ходной переменной от входной. Воздействие неучтенных, случай-
ных факторов и ошибок наблюдений определяется остаточной дис-
персией
2
σ
. Несмещенной оценкой
2
σ
служит выборочная оста-
точная дисперсия
2
2
()
.
2
−
=
−
∑
i
yy
s
n
(4.9)
Число степеней свободы здесь равно двум, так как выражение
для
y содержит два параметра
0
a и
1
a , найденные по той же вы-
борке.
Определим доверительный интервал (точнее, доверительную
полосу) для функции регрессии. Вначале определим дисперсию
y
как функцию х
2
11
() ( ( )) () ( )( ),=+−= + −Dy Dy a x x Dy Da x x
так как
()
−
x
x – величина неслучайная.
Дисперсия среднего

Страницы