Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

21
творяющей аксиомам 1) – 4). При этом величина платежей зависит от «си-
лы» каждого игрока, которая учитывается исходя из значения дополни-
тельного выигрыша, который может получить коалиция, если данный иг-
рок войдет в нее.
Компоненты вектора Шепли определяются равенством [1, c. 155]:
(
)
(
)
[]
1!!
()()(\{}).
!
i
SN
iS
SnS
VVSVSi
n
φ
⊂
∈
−⋅−
=−
∑
Пример. Рассматривается кооперативная игра с тремя игроками. Из-
вестны значения характеристической функции, определяющие соответст-
венно выигрыши первого, второго и третьего игроков, когда каждый из
них играет в одиночку, не кооперируясь ни с кем из других игроков:
V(1)= 1200; V(2)= 1500; V(3) = 1800.
Выигрыши, которые могут обеспечить себе игроки, действуя попар-
но, составляют:
V(1,2) = 2700; V(1,3) = 3000; V(2,3) = 4000.
Общий выигрыш, который могут обеспечить себе игроки, образуя макси-
мально большую коалицию N, состоящую из трех игроков равен:
V(1,2,3) = 5200.
В рассматриваемой игре
V(1,2) = V(1∪2) = 2700; V(1) + V(2) = 1200 + 1500 = 2700.
Следовательно, V(1∪2) = V(1) + V(2).
V(1,3) = V(1∪3) = 3000; V(1) + V(2) = 1200 + 1800 = 3000.
Следовательно, V(1∪3) = V(1) + V(3).
V(2,3) = V(2∪3) = 4000; V(2) + V(3) = 1500 + 1800 = 3300.
Следовательно, V(2∪3) > V(2) + V(3).
V(1,2,3) = V(1∪2∪3) = 5200; V(1) + V(2∪3) = 1200 + 4000 = 5200.
Следовательно, V(1∪2∪3) = V(1) + V(2∪3).
Таким образом, в данной игре «болваном» является первый игрок,
т.к. его присоединение к любой из возможных коалиций не увеличивает ее
выигрыш. «Носителем» игры являются второй и третий игроки.
Для определения возможных выигрышей каждого из игроков в слу-
чае их объединения может быть использован вектор Шепли:
(
)
(
)
(
)
(
)
()() ()()
1
31!33!21!32!
()[(1,2,3)(2,3)][(1,2)(2)]
3!3!
21!32!11!31!
[(1,3)(3)][(1)0]1200;
VVVVV
VVV
φ
−−−−
=−+−+
−−−−
+−+−=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         творяющей аксиомам 1) – 4). При этом величина платежей зависит от «си-
         лы» каждого игрока, которая учитывается исходя из значения дополни-
         тельного выигрыша, который может получить коалиция, если данный иг-
         рок войдет в нее.
               Компоненты вектора Шепли определяются равенством [1, c. 155]:
                                         ( S − 1)!⋅ ( n − S )! V ( S ) − V ( S \ {i}) .
                      φi (V ) =    ∑
                                   S⊂N              n!
                                                                    [                          ]
                                   i∈S

                 Пример. Рассматривается кооперативная игра с тремя игроками. Из-
         вестны значения характеристической функции, определяющие соответст-
         венно выигрыши первого, второго и третьего игроков, когда каждый из
         них играет в одиночку, не кооперируясь ни с кем из других игроков:
                                      V(1)= 1200; V(2)= 1500; V(3) = 1800.
                 Выигрыши, которые могут обеспечить себе игроки, действуя попар-
         но, составляют:
                                V(1,2) = 2700; V(1,3) = 3000; V(2,3) = 4000.
         Общий выигрыш, который могут обеспечить себе игроки, образуя макси-
         мально большую коалицию N, состоящую из трех игроков равен:
                                                    V(1,2,3) = 5200.
                 В рассматриваемой игре
                 V(1,2) = V(1∪2) = 2700; V(1) + V(2) = 1200 + 1500 = 2700.
                 Следовательно, V(1∪2) = V(1) + V(2).
                 V(1,3) = V(1∪3) = 3000; V(1) + V(2) = 1200 + 1800 = 3000.
                 Следовательно, V(1∪3) = V(1) + V(3).
                 V(2,3) = V(2∪3) = 4000; V(2) + V(3) = 1500 + 1800 = 3300.
                 Следовательно, V(2∪3) > V(2) + V(3).
                 V(1,2,3) = V(1∪2∪3) = 5200; V(1) + V(2∪3) = 1200 + 4000 = 5200.
                 Следовательно, V(1∪2∪3) = V(1) + V(2∪3).
                 Таким образом, в данной игре «болваном» является первый игрок,
         т.к. его присоединение к любой из возможных коалиций не увеличивает ее
         выигрыш. «Носителем» игры являются второй и третий игроки.
                 Для определения возможных выигрышей каждого из игроков в слу-
         чае их объединения может быть использован вектор Шепли:

            φ1 (V ) =
                       ( 3 − 1) !( 3 − 3) ! [V (1, 2,3) − V (2, 3)] + ( 2 − 1) !( 3 − 2 ) ! [V (1, 2) − V (2)] +
                                3!                                              3!

             +
               ( 2 − 1) !( 3 − 2 ) ! [V (1, 3) − V (3)] + (1 − 1) !( 3 − 1) ! [V (1) − 0] = 1200;
                        3!                                        3!

                                                                                                             21


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы