Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 13 стр.

                                                 k −2           k
                                        Rk ≤ ∑ Pk − j ( h ) = ∑ Ps ( h ).
                                                 j =0          s =2

              Распространив суммирование в правой части неравенства
         до бесконечности, мы только усилим предыдущее неравенство,
         т.е.
                                                    ∞
                                         Rk ≤ ∑ Ps ( h ) = P>1 (h ).
                                                   s =2
                Согласно условию ординарности потока
                                                 P>1 (h ) = o( h ).
                В результате получаем равенство
                      Pk (t + h ) = Pk (t ) ⋅ P0 ( h ) + Pk −1 (t ) ⋅ P1 ( h ) + o( h ) (4)
                В силу равенства (3) P1(h) = λh + o(h). Кроме того, ясно, что
                                             ∞                           ∞
                              P0 (h ) = 1 − ∑ Ps (h ) = 1 − P1 ( h ) − ∑ Ps ( h ).
                                            s =1                        s =2
                Следовательно,
                                       P0 ( h ) = 1 − λ h + o( h ).
              Теперь равенство (4) переписывается в виде
                       Pk (t + h ) = Pk (t ) ⋅ (1 − λ h ) + Pk −1 (t ) ⋅ λ h + o( h ),
                из которого следует, что
                           Pk (t + h ) − Pk ( t )
                                                  = −λ Pk (t ) + λ Pk −1 (t ) + o(1).
                                    h
              В этом случае вероятность поступления в промежутке вре-
         мени t ровно k требований задается распределением Пуассона:
                                              (λ t ) k − λt
                                    Pk (t ) =         ⋅e               (5)
                                               k!
              Важной характеристикой потока является его интенсив-
         ность, которая определяется как математическое ожидание числа
         требований, поступающих за единицу времени. Для распределе-
         ния Пуассона (1) математическое ожидание числа требований,
         поступающих за промежуток времени (0,t) равно:
                                 ∞                      ∞
                                                            (λ t ) k
                     M t [k ] = ∑ k ⋅ Pk ( t ) = e ⋅ ∑ k ⋅
                                                  − λt
                                                                     = λt (6)
                                k =1                   k =1  k  !


                                                        13


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com