Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

18
∑∑∑∑∑
∑∑
∑
⋅=⋅⋅=⋅
⋅=+
+⋅
⋅+⋅
⋅=+⋅+⋅=
⋅=+⋅+⋅=
ikik
kjkijkikij
k
kik
j
k
kkj
k
kkjjj
k
kjkjjj
pappappa
ppappapapaa
papapaa
,...
...
;...
)2()0()0()0(
22
)0(
11
)0(
2
)1(
21
)1(
1
)2(
)0(
2
)0(
21
)0(
1
)1(
где
∑
⋅=
i
ijkikj
ppp
)2(
- двухшаговая вероятность, или пере-
ходная вероятность второго порядка, т.е. вероятность перехода из
состояния k в состояние j в точности за два шага. Аналогично по
индукции можно доказать, что
,
)()0()1()0()(
∑∑∑
⋅=
⋅⋅=
−
i
n
iji
k
kj
n
ik
i
i
n
j
pappaa
где p
ij
(n)
– есть n – шаговая вероятность (или переходная ве-
роятность n – го порядка), определяемая рекуррентной формулой:
∑
⋅=
−
k
kj
n
ik
n
ij
ppp
)1()(
В общем случае для всех i и j имеем:
nmppp
k
m
kj
mn
ik
n
ij
<<⋅=
∑
−
0,
)()()(
Эти уравнения известны как уравнения Колмогорова – Чеп-
мена.
Элементы {p
ij
(n)
} матрицы переходов высшего порядка
можно получить непосредственно , путем перемножения матриц.
Так, например:
{p
ij
(2)
} = {p
ij
}⋅ {p
ij
} = P
2
; {p
ij
(3)
} = {p
ij
(2)
}⋅ {p
ij
} = P
3
;
и в общем виде
{p
ij
(n)
} = P
n-1
⋅P= P
n
.
Следовательно, если абсолютные вероятности определены в
векторной форме как
a
(n)
= {a
1
(n)
, a
2
(n)
, a
3
(n)
…) то a
(n)
= a
(0)
⋅P
n
Пример. Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями
()
.2,08,0;
4,06,0
7,03,0
0
=
= aP при
Определим a
(1)
, a
(2)
, a
(4)
, a
(8)
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                              = a1 ⋅ p1 j + a2 ⋅ p2 j + ... = ∑ ak                   ⋅ pkj ;
                                        (1)       ( 0)               (0)                      ( 0)
                                   aj
                                                                                        k

                                                                                           
                        = a1 ⋅ p1 j + a2 ⋅ p2 j + ... =  ∑ ak ⋅ pk1  ⋅ p1 j +  ∑ ak ⋅ pk 2  ⋅ p2 j +
                 ( 2)       (1)         (1)                   ( 0)                    ( 0)
            aj
                                                         k                     k           
                                              
                         + ... = ∑ ∑ ak ⋅ pki  ⋅ pij = ∑ ak ⋅ ∑ pki ⋅ pij = ∑ ak ⋅ pkj ,
                                        (0)                  ( 0)                 ( 0)  ( 2)

                                 i  k                  k        i           k

                        где p kj = ∑ p ki ⋅ pij - двухшаговая вероятность, или пере-
                                  ( 2)

                                              i

         ходная вероятность второго порядка, т.е. вероятность перехода из
         состояния k в состояние j в точности за два шага. Аналогично по
         индукции можно доказать, что
                                   (0)                     
                         a j = ∑ ai ⋅  ∑ pik        ⋅ pkj  = ∑ ai ⋅ pij ,
                            ( n)              ( n−1)               (0)   (n)

                                 i       k                  i
                     (n)
              где pij – есть n – шаговая вероятность (или переходная ве-
         роятность n – го порядка), определяемая рекуррентной формулой:
                                      pij = ∑ pik
                                                     ( n−1)
                                                            ⋅ pkj
                                         (n)

                                                                            k
                        В общем случае для всех i и j имеем:
                                     pij = ∑ pik
                                                  ( n −m )
                                                           ⋅ pkj , 0 < m < n
                                        (n)                     ( m)

                                                                k
                        Эти уравнения известны как уравнения Колмогорова – Чеп-
         мена.
               Элементы {pij(n)} матрицы переходов высшего порядка
         можно получить непосредственно , путем перемножения матриц.
         Так, например:
               {pij(2)} = {pij}⋅ {pij} = P2; {pij(3)} = {pij(2)}⋅ {pij} = P3;
               и в общем виде
                                         {pij(n)} = Pn-1⋅P= Pn.
               Следовательно, если абсолютные вероятности определены в
         векторной форме как
                             a(n) = {a1(n), a2(n), a3(n)…) то a(n) = a(0) ⋅Pn
               Пример. Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями
                                                               0,3 0,7 
                                                         P =             ; при a 0 = (0,8 0,2).
                                                               0 ,6 0, 4  
                        Определим a(1), a(2), a(4), a(8).


                                                                           18


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы