Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 21 стр.

                По индукции можно доказать, что
                                                                    n −1
                                                               + ∑ f jj
                                                                                            ( n− m )
                                                = f jj                             ⋅ p jj
                                       (n)               (n)                ( m)
                                p jj                                                                   ,
                                                                    m =1
                откуда получается искомое выражение
                                                                    n −1
                                                               − ∑ f jj
                                                                                            ( n − m)
                                                = p jj                             ⋅ p jj
                                         ( n)            (n)                (m)
                                  f jj
                                                                    m =1
              Тогда вероятность по крайней мере одного возвращения в
         состояние Ej определяется формулой:
                                                                     ∞
                                                     f jj = ∑ f jj
                                                                           ( m)

                                                                    m =1
              Следовательно, система обязательно вернется в состояние j,
         если fjj= 1. Обозначив через µjj среднее время возвращения, полу-
         чим:
                                                           ∞
                                             µ jj = ∑ k ⋅ f jj
                                                                           (k )

                                                          k =1
                 Если fjj < 1, то не известно, вернется ли система в состояние
         Ej, и, следовательно, µjj = ∞.
                 Исходя из определения первого времени возвращения, со-
         стояния марковской цепи можно классифицировать следующим
         образом:
                 1. состояние является невозвратным, если fjj < 1, т.е. µjj = ∞;
                 2. состояние возвратно, если fjj = 1;
                 3. возвратное состояние является нулевым, если µjj = ∞ и не-
         нулевым, когда µjj < ∞;
                 4. состояние называется периодическим с периодом T, если
         возвращение в него возможно только через число шагов Т, 2Т,
         3Т, … Это означает, что если n не делится на Т без остатка, то
         pjj(n) = 0;
                 5. возвратное состояние является эргодическим, если оно
         ненулевое и апериодическое.
                 Любая неприводимая цепь Маркова является эргодической,
         если все ее состояния эргодические. В этом случае распределение
         абсолютных вероятностей a(n) = a(0) ⋅Pn всегда однозначно сходит-
         ся к предельному (финальному) распределению при n →∞, где
                                                               21


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com