Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

24
Определим P
0
(t + ∆t) – вероятность того, что в момент вре-
мени t+ ∆t система будет в состоянии «0». Данное событие может
произойти при свершении двух несовместных событий:
Первое событие (А
1
) заключается в том, что в момент вре-
мени t все каналы были свободны, а за время ∆t не поступило ни
одного требования. Второе событие (А
2
) состоит в том, что в мо-
мент времени t один канал был занят, но за время ∆t он освобо-
дился и за это же время ∆t не поступило ни одного нового требо-
вания.
Пусть P
0
(t) – вероятность того, что в момент времени t все
каналы были свободны. Вероятность того, что за время ∆t не по-
ступило ни одного требования равна
1().
t
etot
λ
λ
−∆
=−∆+∆
Отсюда
вероятность первого события может быть записана по теореме
умножения вероятностей независимых событий:
[
]
100
()()()1().
t
PAPtePttot
λ
λ
−∆
=⋅=⋅−∆+∆
Второе событие состоит из трех независимых событий, ве-
роятности которых определяются так:
P
1
(t) – вероятность того, что в момент времени t был занят
один канал;
(1 – e
-µ∆t
) – вероятность того, что за время ∆t будет завер-
шено обслуживание одного требования;
e
-λ∆t
– вероятность того, что за время ∆t не поступит нового
требования.
Таким образом, вероятность события А
2
определится как
произведение трех вероятностей:
)
)
[
]
)
()
211
2
111
()1()111
()()()()().
tt
PAPteePttt
PttPttotPttot
µλ
µλ
µλµµ
−∆−∆
=−⋅=−+∆−∆=
=∆−∆+∆=∆+∆
Вероятность события P
0
(t + ∆t), зависящего от двух несо-
вместных событий А
1
и А
2
, определится по теореме сложения:
(
)
(
)
(
)
01201
()()1()().
PttPAPAPttPttot
λµ
+∆++=−∆+∆+∆
Деля обе части полученного равенства на ∆t и переходя к
пределу при ∆t → 0, получим:
0
01
()
()().
dPt
PtPt
dt
λµ=−+
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              Определим P0(t + ∆t) – вероятность того, что в момент вре-
         мени t+ ∆t система будет в состоянии «0». Данное событие может
         произойти при свершении двух несовместных событий:
              Первое событие (А1) заключается в том, что в момент вре-
         мени t все каналы были свободны, а за время ∆t не поступило ни
         одного требования. Второе событие (А2) состоит в том, что в мо-
         мент времени t один канал был занят, но за время ∆t он освобо-
         дился и за это же время ∆t не поступило ни одного нового требо-
         вания.
              Пусть P0(t) – вероятность того, что в момент времени t все
         каналы были свободны. Вероятность того, что за время ∆t не по-
         ступило ни одного требования равна e − λ∆t = 1 − λ∆t + o( ∆t ). Отсюда
         вероятность первого события может быть записана по теореме
         умножения вероятностей независимых событий:
                                 P( A1 ) = P0 (t ) ⋅ e −λ∆t = P0 (t ) ⋅ [1 − λ∆t + o( ∆t )] .
               Второе событие состоит из трех независимых событий, ве-
         роятности которых определяются так:
               P1(t) – вероятность того, что в момент времени t был занят
         один канал;
               (1 – e-µ∆t) – вероятность того, что за время ∆t будет завер-
         шено обслуживание одного требования;
               e-λ∆t – вероятность того, что за время ∆t не поступит нового
         требования.
               Таким образом, вероятность события А2 определится как
         произведение трех вероятностей:
                P ( A2 ) = P1 (t ) (1 − e − µ∆t ) ⋅ e − λ∆t = P1 (t ) [1 − 1 + µ∆t ] (1 − λ∆t ) =

               = P1 (t ) µ∆t − P1 (t )λ ( ∆t ) µ + o( ∆t ) = P1 (t ) µ∆t + o( ∆t ).
                                                    2


               Вероятность события P0(t + ∆t), зависящего от двух несо-
         вместных событий А1 и А2, определится по теореме сложения:
                       P0 (t + ∆t ) + P ( A1 ) + P ( A2 ) = P0 (t ) (1 − λ∆t ) + P1 (t ) µ∆t + o( ∆t ).
               Деля обе части полученного равенства на ∆t и переходя к
         пределу при ∆t → 0, получим:
                                           dP0 (t )
                                                    = −λ P0 (t ) + µ P1 (t ).
                                             dt

                                                        24


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы