Теория полезности. Смагин Б.И. - 27 стр.

                 Используя необходимые условия первого порядка, по-
            лучим:
                               ∂L ∂U
                               ∂x = ∂x − λ p1 = 0
                               1       1

                               ∂L ∂U
                                  =       − λ p2 = 0               (8)
                                ∂
                               2x    ∂x 2
                               ∂L
                                  = I − p1 x1 − p2 x2 = 0
                               ∂λ
                  Выражая λ из первого уравнения и подставляя во вто-
            рое, получаем:
                                          ∂U / ∂x2 p2
                                                  =
                                          ∂U / ∂x1 p1
                 Таким образом, в точке максимума отношение пре-
            дельных полезностей равно отношению цен на товары.
                 Кроме того, из первых двух уравнений системы имеем:
                                    ∂U / ∂x1 ∂U / ∂x2
                                            =         =λ
                                      p1       p2
                  Следовательно, предельные полезности товаров, де-
            ленные на цены должны быть равны для всех товаров.
                  Множитель λ можно также интерпретировать как пре-
            дельную полезность дохода: λ = ∂L/∂I.
                  Из системы (8) находим значения х1 и х2, которые яв-
            ляются функциями спроса потребителя в предположении его
            оптимального поведения.
            Пример 3. Рассмотрим функцию полезности U = x1x2 при це-
            нах р1 = 2 тыс. руб., р2 = 5 тыс. руб., при доходе потребителя I
            = 80 тыс. руб.
                  В данном случае имеем задачу на условный экстремум:
                                  U(x1,x2) = x1x2 → max
                              при условии 2х1 + 5х2 = 80
                  Функция Лагранжа имеет вид:
                              L = x1x2 + λ(80 – 2x1 – 5x2)


                                                                             27

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com