Теория полезности. Смагин Б.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

29
Пример 4. Рассмотрим функцию полезности U = x
1
x
2
+ х
1
х
3
+
х
2
х
3
при ценах р
1
= 2 тыс. руб., р
2
= 3 тыс. руб., р
3
= 4 тыс.
руб., при доходе потребителя I = 150 тыс. руб.
В данном случае имеем задачу на условный экстремум:
U(x
1
,x
2
,х
3
) = x
1
x
2
+ х
1
х
3
+ х
2
х
3
→ max
при условии 2х
1
+ 3х
2
+4х
3
= 150
Функция Лагранжа имеет вид:
L = x
1
x
2
+ х
1
х
3
+ х
2
х
3
+ λ(150 – 2x
1
– 3x
2
– 4х
3
)
Используем необходимые условия первого порядка:
23
1
13
2
12
3
123
20
30
40
1502340
L
xx
x
L
xx
x
L
xx
x
L
xxx
λ
λ
λ
λ
∂
=+−=
∂
∂
=+−=
∂
∂
=+−=
∂
∂
=−−−=
∂
Так как полученная система является системой линей-
ных уравнений, то для нахождения значений переменных
x
1
,x
2
,х
3
,λ используем метод Жордана-Гаусса.
Исходная матрица системы имеет вид:
0112|0
1013|0
1104|0
2340|150
−


−


−


Выбирая в качестве разрешающего элемента а
21
= 1,
после проведения преобразований Жордана-Гаусса, получим:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            Пример 4. Рассмотрим функцию полезности U = x1x2 + х1х3 +
            х2х3 при ценах р1 = 2 тыс. руб., р2 = 3 тыс. руб., р3 = 4 тыс.
            руб., при доходе потребителя I = 150 тыс. руб.
                   В данном случае имеем задачу на условный экстремум:
                         U(x1,x2,х3) = x1x2 + х1х3 + х2х3 → max
                           при условии 2х1 + 3х2 +4х3 = 150
                   Функция Лагранжа имеет вид:
                     L = x1x2 + х1х3 + х2х3+ λ(150 – 2x1 – 3x2 – 4х3)
                   Используем необходимые условия первого порядка:
                                 ∂L
                                 ∂x = x2 + x3 − 2λ = 0
                                 1
                                 ∂L
                                 ∂x = x1 + x3 − 3λ = 0
                                 
                                     2

                                  ∂L = x + x − 4λ = 0
                                  ∂x3   1    2

                                 
                                  ∂L = 150 − 2 x − 3x − 4 x = 0
                                ∂λ             1    2     3



                   Так как полученная система является системой линей-
            ных уравнений, то для нахождения значений переменных
            x1,x2,х3,λ используем метод Жордана-Гаусса.

                    Исходная матрица системы имеет вид:
                                0 1 1 −2 | 0 
                                1 0 1 −3 | 0 
                                                   
                                1 1 0 −4 | 0 
                                                   
                                2 3 4 0 | 150 

                  Выбирая в качестве разрешающего элемента а21 = 1,
            после проведения преобразований Жордана-Гаусса, получим:




                                                                             29

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы