Теория полезности. Смагин Б.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

31
Пример 5. Рассмотрим функцию полезности U = x
1
x
2
х
3
при
ценах р
1
= 1 тыс. руб., р
2
= 2 тыс. руб., р
3
= 3 тыс. руб., при
доходе потребителя I = 180 тыс. руб.
В данном случае имеем задачу на условный экстремум:
U(x
1
,x
2
) = x
1
x
2
х
3
→ max
при условии х
1
+ 2х
2
+3х
3
= 180
Функция Лагранжа имеет вид:
L = x
1
x
2
х
3
+ λ(180 – x
1
– 2x
2
-3х
3
)
Используем необходимые условия первого порядка:
23
1
13
2
12
3
123
0
20
30
180230
L
xx
x
L
xx
x
L
xx
x
L
xxx
λ
λ
λ
λ
∂
=−=
∂
∂
=−=
∂
∂
=−=
∂
∂
=−−−=
∂
Из первого уравнения полученной системы имеем:
λ = x
2
х
3
(9)
Вычитая из первого уравнения второе, получим:
x
2
х
3
– x
1
х
3
+ λ = 0, откуда
λ = х
3
(х
1
– x
2
) (10)
Сравнивая соотношения (9) и (10), будем иметь:
x
2
х
3
= х
3
(х
1
– x
2
), т.е.
х
3
(2х
2
– х
1
) = 0 (11)
Очевидно, что равенство (11) выполняется в том случае,
когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Если х
3
= 0, то из (9) получим λ = 0, а из третьего урав-
нения следует:
х
1
х
2
= 0 (12)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            Пример 5. Рассмотрим функцию полезности U = x1x2х3 при
            ценах р1 = 1 тыс. руб., р2 = 2 тыс. руб., р3 = 3 тыс. руб., при
            доходе потребителя I = 180 тыс. руб.
                  В данном случае имеем задачу на условный экстремум:
                               U(x1,x2) = x1x2 х3 → max
                           при условии х1 + 2х2 +3х3 = 180
                  Функция Лагранжа имеет вид:
                          L = x1x2х3 + λ(180 – x1 – 2x2-3х3)
                  Используем необходимые условия первого порядка:
                                  ∂L
                                  ∂x = x2 x3 − λ = 0
                                  1
                                  ∂L
                                  ∂x = x1 x3 − 2λ = 0
                                  2
                                 
                                  ∂L = x x − 3λ = 0
                                  ∂x3   1 2

                                 
                                  ∂L = 180 − x − 2 x − 3x = 0
                                 ∂λ           1     2   3



                   Из первого уравнения полученной системы имеем:
                                     λ = x2х3           (9)
                   Вычитая из первого уравнения второе, получим:
                   x2х3 – x1х3 + λ = 0, откуда
                                   λ = х3 (х1 – x2)    (10)

                  Сравнивая соотношения (9) и (10), будем иметь:
            x2х3 = х3 (х1 – x2), т.е.
                                   х3 (2х2 – х1) = 0   (11)

                 Очевидно, что равенство (11) выполняется в том случае,
            когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
                 Если х3 = 0, то из (9) получим λ = 0, а из третьего урав-
            нения следует:
                                х1х2 = 0                (12)


                                                                             31

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы