Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
.arcsin
11
2222
C
a
x
a
x
a
x
d
a
x
a
dx
xa
dx
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
òòò
· Для вычисления интеграла (3.15) используем табличный интеграл
(3.3)
=
+
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
=
-
òòòò
ax
dx
aax
dx
a
dx
axaxa
a
x
dx
2
1
2
111
2
1
22
=++--=
+
+
-
-
-
=
òò
Cax
a
ax
a
a
x
axd
a
a
x
axd
a
ln
2
1
ln
2
1)(
2
1)(
2
1
C
ax
ax
a
+
+
-
= ln
2
1
.
5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЁННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Свойство III, описанное в разделе 4, является частным случаем об-
щего метода замены переменной в неопределённом интеграле. Основой
метода является следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть известно, что
CxFdxxf +=
ò
)()(
, т. е.
)
(
)
(
x
x
F
=
¢
. (5.1)
Тогда
.))(()())(( CxzFdxxzxzf +=
¢
×
ò
(5.2)
Доказательство. Продифференцируем правую часть формулы (5.2),
учитывая, что
))
(
(
x
z
F
является сложной функцией аргумента x,
а
)()( zfzF
z
=
¢
по условию (5.1) теоремы. Тогда получаем
( )
).())(()())(())(( xzxzfxzxzFCxzF
xz
x
¢
×=
¢
×
¢
=
¢
+
Следовательно, производная правой части (5.2) равна подынтеграль-
ной функции, стоящей в левой части (5.2). Это доказывает теорему 6.
Формулу (5.2) можно переписать так
.))(()())(( CxzFxdzxzf
+
=
ò
(5.3)
Таким образом, переменная, по которой ведется интегрирование,
не обязательно является независимой переменной. Она может быть фун-
кцией другой переменной. Метод замены переменной как раз в том и
состоит, что вводится новая переменная интегрирования.
Этот метод эффективен прежде всего тогда, когда подынтеграль-
ное выражение можно представить в виде
)
(
))
(
(
x
dz
x
z
, а первообраз-
ная
)
(
z
F
функции
)
(
z
уже известна. Далеко не все подынтегральные
выражения допускают такое представление. С другой стороны, не все-
гда легко увидеть, что это представление возможно. В умении вводить
замену переменной состоит, пожалуй, основная трудность при вычисле-
нии неопределенного интеграла.
Приведем примеры, в которых замена множителя
dx
x
z
)
(
¢
на
)
(
x
dz
позволяет представить все подынтегральное выражение как выражение,
зависящее от одной и той же функции
)
(
x
z
.
Пример 5.1.
òòò
-===
x
xd
dx
x
x
xdxI
cos
)(cos
cos
sin
tg
. Введём
x
z
cos
=
.
Тогда
.coslnln CxCz
z
dz
I +-=+-=-=
ò
Пример 5.2.
.sinln
sin
)(sin
sin
cos
ctg Cx
x
xd
dx
x
x
xdx +===
òòò
Пример 5.3.
òò
+
+
=
+
=
9
)9(
2
1
9
2
2
2
x
xd
x
xdx
I
. Введём
9
2
+
=
x
z
.
Тогда
CxCz
z
dz
I ++=+==
ò
)9ln(
2
1
ln
2
1
2
1
2
.
Пример 5.4.
òò
+
=
+
=
16)(
)(
2
1
16
22
2
4
x
xd
x
xdx
I
. Введём
2
x
z
=
.

Страницы