Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 23
Тогда
C
x
C
z
z
dz
I +=+=
+
=
ò
4
arctg
8
1
4
arctg
8
1
16
2
1
2
2
.
Пример 5.5.
òò
-
-
=
-
=
32
)32(
4
1
32
2
2
2
x
xd
x
xdx
I
. Введём
3
2
2
-
=
x
z
.
Тогда
CxCz
z
dz
I +-=+==
ò
32
2
1
2
1
4
1
2
.
Пример 5.6.
=
+
+
+
=
+
+
òòò
dx
x
x
x
dxx
dx
x
xx
5
2
5
5
2
44
3
4
3
(
)
.5ln5
2
1
5)(
)(
5
)5(
4
1
424
22
2
4
4
Cxxx
x
xd
x
xd
+++++=
+
+
+
+
=
òò
Пример 5.7.
(
)
Ce
)d(e
dxe
x
x
x
x
x
++=
+
+
=
+
òò
2ln
2
2
2
.
Пример 5.8.
=
+
=
+
òò
-
x
x
x
dxe
dx
2
1
2
(
)
(
)
Ce
ed
x
x
x
++-=
+
+
-=
-
-
ò
12ln
2
1
1
2
12
2
1
.
Пример 5.9.
C
e
e
e
ed
e
ed
ee
dxe
x
x
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
=
-+
+
=
-+
=
++
òòò
3
1
ln
2
1
1)2(
)2(
1)2(
)(
34
222
.
Пример 5.10.
C
x
x
x
xd
xx
dx
+
+
-
=
-
=
-
òò
5ln
5ln
ln
10
1
25ln
ln
)25(ln
22
.
В следующих двух примерах применим искусственный приём,
выделяющий дифференциал от функции tg x.
Пример 5.11.
=
+
=
+
=
+
òòò
1tg3
tgtg
)tg31(cos
tg
sin3cos
tg
22222
x
xxd
xx
xdx
xx
xdx
.1tg3ln
6
1
1tg3
)1tg3(
6
1
2
2
2
Cx
x
xd
++=
+
+
=
ò
Пример 5.12.
=
+
=
+
òò
x
x
dx
x
dx
222
sin
4
cos
5
4
cos
.
5
tg2
arctg
52
1
)tg2(5
)tg2(
2
1
)tg45(cos
222
C
x
x
xd
xx
dx
+=
+
=
+
=
òò
В рассмотренных примерах мы выделяли в подынтегральном вы-
ражении дифференциал некоторой функции, которую и объявляли но-
вой переменной интегрирования. Замену переменной можно осуществить
и по-другому, заменив переменную интегрирования какой-то функцией.
Обычно такой прием используется при интегрировании иррациональ-
ных функций. При этом новая функция выбирается так, чтобы избавить-
ся от иррациональности.
Приведём примеры такой замены переменной.
Пример 5.13. Вычислить
ò
- dxx
2
4
.
Выберем замену в виде
t
x
sin
2
=
, где
ú
û
ù
ê
ë
é
p
p
-Î
2
;
2
t
. Тем самым
tx cos24
2
=-
и иррациональное выражение исчезает, превращаясь
в тригонометрическое. Далее
tdt
dx
cos
2
=
.
Здесь ещё раз подчеркнем, что мы перешли к новой переменной t
во всем подынтегральном выражении, в том числе и в дифференциале.
Тогда
( )
.2sin22cos12cos44
22
Cttdtttdtdxx ++=+==-
ò
ò
ò
Теперь вернёмся к переменной x:
.
2
4
2
2cossin22sin;
2
arcsin
2
xx
ttt
x
t
-
××==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
В итоге
.4
2
1
2
arcsin24
22
Cxx
x
dxx +-+=-
ò

Страницы