Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24 25
Пример 5.14. Вычислить
ò
+
x
dxx
1
.
Выбираем замену в виде
2
z
x
=
. Тогда
zdz
dx
2
=
. В результатете
ò òòòò
=
+
-=
+
-+
=
+
=
+
22
2
2
2
1
22
1
1)1(
2
1
2
1
dz
dzdz
z
dzz
x
dxx
.arctg22arctg22 CxxCzz +-=+-=
6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Теорема 7. Справедливо тождество
.)()()()()()(
ò
ò
-= xduxvxvxuxdvxu
(6.1)
Доказательство. Проинтегрируем известное тождество вида
(
)
).()()()()()( xdvxuxduxvxvxud
×
+
×
=
×
(6.2)
Получим
(
)
.)()()()()()(
ò
ò
ò
×
+
×
=
×
xdvxuxduxvxvxud (6.3)
Но
(
)
.)()()()( Cxvxuxvxud
+
=
×
ò
(6.4)
Тогда из (6.3) следует (6.1), где постоянная C из равенства (6.4) включена
в состав интеграла
ò
)()( xduxv . Теорема 7 доказана.
Замечание. Обычно формулу (6.1) записывают коротко:
ò
ò
-
=
.vduuvdvu (6.5)
Формулу (6.1) имеет смысл применять тогда, когда
ò
vdu оказыва-
ется проще, чем dvu
ò
. Чаще всего это «упрощение» происходит в томм
случае, когда производная
)
(
x
u
¢
имеет более «простой» вид, чем самаа
функция
)
(
x
u
.
Пусть, например, нужно вычислить
ò
xdxx 5sin . Принимаем
в качестве
)
(
x
u
функцию
x
. Тогда
dx
x
du
=
)
(
. В качестве е
)
(
x
dv
возьмем
дифференциальное выражение
xdx
5
sin
и вычислим
)
(
x
v
:
()
ò
+-== Cxxdxxv 5cos
5
1
5sin
.
Поскольку в тождестве (6.1) нужна лишь одна первообразная
от функции
)
(
x
v
, можем положить
0
=
C
. Итак,
.5sin
25
1
5cos
5
1
5cos
5
1
5cos
5
1
5sin Cxxxxdxxxxdxx ++-=+-=
òò
Отметим, что в результате применения формулы (6.1) мы свели
вычисление неизвестного интеграла
ò
xdxx 5sin к вычислению извест-
ного интеграла
ò
xdx5cos .
Перечислим ниже типы интегралов, которые следует вычислять,
используя формулу интегрирования по частям (6.1).
I.
RbaNndxex
baxn
ÎÎ
ò
+
,;,
.
II.
.,;,)sin( RbaNndxbaxx
n
ÎÎ+
ò
III.
.,;,)cos( RbaNndxbaxx
n
ÎÎ+
ò
IV.
.1,,ln -¹Î
ò
aRaxdxx
a
V.
K,2,1,0,arctg =
ò
mxdxx
m
VI.
K,2,1,0,arcsin =
ò
mxdxx
m
В интегралах типов I, II, III в качестве
)
(
x
u
следует выбрать
n
x
,
в качестве
)
(
x
dv
– оставшуюся часть подынтегрального выражения. Фор-
мулу (6.1) для этих интегралов придется применять n раз. В интегралах
типа IV в качестве
)
(
x
u
принимается
x
ln
, в качестве е
)
(
x
dv
принимает-

Страницы