Составители:
Рубрика:
28 29
Тогда
ò
+--=+-= C
x
x
x
x
dx
x
x
I
2232
4
1
2
ln
2
1
2
ln
.
Интегралы, приводящиеся к самим себе
Иногда в результате применения формулы (6.1) мы получаем но-
вый интеграл, который отличается от исходного интеграла
ò
udv
лишь
множителем. Тогда формулу (6.1) можно рассматривать как уравнение
относительно
ò
udv
. Такие интегралы называются интегралами, приво-
дящимися к себе.
Пример 6.9.
ò
+= dxaxI
2
, где
0
¹
a
.
Применим интегрирование по частям, где
dxdvaxu =+= ,
2
.
Тогда
xv
a
x
xdx
du =
+
= ,
2
.
Получим
òò
+
-+=+= dx
a
x
x
axxdxaxI
2
2
22
. (6.6)
Проведём тождественные преобразования:
=
+
-+=
+
-+
=
+
ò òòò
ax
dx
adxaxdx
ax
aax
dx
ax
x
2
2
2
2
2
2
)(
.ln
2
CaxxaI +++-=
Подставляем полученный результат в формулу (6.6).
Тогда
CaxxaIaxxI ++++-+=
22
ln
.
Мы получили уравнение относительно
I
. Решаем его. В итогее
CaxxaaxxI +
÷
ø
ö
ç
è
æ
++++=
22
ln
2
1
.
Пример 6.10.
ò
= bxdxeI
ax
sin
, где
0
,
0
¹
¹
b
a
.
Применяем интегрирование по частям. Положим
bxdxdveu
ax
sin, ==
.
Получим
bx
b
vdxaedu
ax
cos
1
, -==
. Тогда
ò
+-= bxdxe
b
a
bxe
b
I
axax
coscos
1
. (6.7)
Снова применим интегрирование по частям в интеграле
ò
= bxdxeI
ax
cos
1
. Положим
bxdxdveu
ax
cos,
1
1
==
. Найдём
bx
b
vdxaedu
ax
sin
1
,
11
==
. Тогда
ò
-= bxdxe
b
a
bxe
b
I
axax
sinsin
1
1
.
Подставим интеграл
1
I
в (6.7) и получим уравнение относительно
I
.
I
b
a
bxe
b
a
bxe
b
I
axax
2
2
2
sincos
1
-+-=
.
Решая это уравнение, определяем
I
.
)(
)sincos(
22
ba
ebxabxb
I
ax
+
+-
=
.
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной
дробью) будем называть частное от деления двух многочленов. Общий
вид рациональной дроби таков:
)(
)(
xQ
xP
m
n
,
где
)(xP
n
– многочлен степени
n
, а
)(xQ
m
– многочлен степени
m
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
