Составители:
Рубрика:
30 31
Если
m
n
<
, то рациональная дробь называется правильной, если
m
n
³
, то рациональная дробь называется неправильной. Из общей сово-
купности правильных дробей выделяются четыре специальных типа
дробей, называемых простейшими. Простейшие дроби имеют вид
( )
( )
( )
( )
,целое,2,
,целое,2,
2
2
³
++
+
++
+
³
-
-
l
qpxx
DBx
qpxx
DBx
k
ax
A
ax
A
l
k
где A, B, D, a, p, q – действительные числа, а трехчлен
qpxx ++
2
не
имеет действительных корней (
qp 4
2
<
), т. е. не раскладывается на
множители первой степени.
В целом классификацию рациональных дробей можно представить
следующим образом.
)(
)(
xQ
xP
m
n
Правильная дробь
)( mn <
Неправильная дробь
)( mn ³
Простейшая дробь
Правильная дробь
общего вида
(I)
ax
A
-
(II)
)(
k
ax
A
-
)2( ³k
(III)
2
qpxx
DBx
++
+
)4(
2
qp <
(IV)
)(
2 l
qpxx
DBx
++
+
)4 ,2(
2
qpl <³
Интегралы от рациональных дробей всегда являются берущимися.
Покажем это, двигаясь по приведённой здесь схеме, поднимаясь с ниж-
него уровня на верхний уровень.
Интегрирование простейших дробей
1. Интеграл типа I берётся с использованием формулы (3.3) табл. 1
и линейной замены
ò ò
+-=
-
-
=
-
CaxA
a
x
axd
Adx
a
x
A
ln
)(
.
2. Интеграл типа II берётся с использованием формулы (3.2) табл. 1
и линейной замены
ò ò
=+-
+-
=--=
-
+--
Cax
k
A
axdaxA
ax
Adx
kk
k
1
)(
1
)()(
)(
C
ax
k
A
k
+
-
×
-
-=
-1
)(
1
1
.
(Здесь
2
³
k
.)
3. Рассмотрим интеграл типа III.
ò
++
+
= dx
qpxx
DBx
I
2
, где
qp 4
2
<
.
Чтобы вычислить интеграл
I
, найдём сначала производную знаме-
нателя подынтегральной функции:
pxqpxx +=
¢
++ 2)(
2
.
Далее представим числитель как сумму двух слагаемых:
)
2
()2(
2
Dp
B
px
B
DBx +-++=+
,
т. е. «выделим» в числителе производную знаменателя. Теперь
I
можно
представить как сумму двух слагаемых:
ò ò
++
+-+
++
+
=
qpxx
dx
Dp
B
dx
qpxx
pxB
I
22
)
2
(
2
2
. (7.1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
