Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32 33
Вычислим каждый из интегралов, стоящих в правой части (7.1),
отдельно:
·
ò ò
+++=
++
++
=
++
+
Cqpxx
qpxx
qpxxd
qpxx
dxpx
)ln(
)()2(
2
2
2
2
,
·
òò ò
=
-++
+
=
-++
=
++
)
4
()
2
(
)
2
(
)
4
()
2
(
2
2
2
2
2
p
q
p
x
p
xd
p
q
p
x
dx
qpxx
dx
C
p
q
p
x
p
q
+
-
+
-
=
4
2
arctg
4
1
22
.
Таким образом,
C
p
q
p
x
p
q
Bp
D
qpxx
B
I +
-
+
-
-
+++=
4
2
arctg
4
)
2
(
)ln(
2
22
2
. (7.2)
Заметим, что
qpxx ++
2
всегда можно представить как сумму
квадратов в силу того, что
0
4
2
>-
p
q
.
Формула (7.2) сложна для запоминания. Как правило, ею не пользу-
ются, а непосредственно применяют к конкретному интегралу изложен-
ный здесь метод.
Приведём примеры.
Пример 7.1.
ò ò
+
-
=
-
-=
-
C
xx
dx
x
dx
233
)2(
1
2
5
)2(
5
)2(
5
.
Пример 7.2.
ò
+
+
+
=
8
4
)73(
2
x
x
dxx
I
. Найдем производную знаменателя
42)84(
2
+=
¢
++ xxx
. Выделим эту производную в числителе
1)42(
2
3
73 ++=+ xx
.
Тогда
ò ò
=
+
+
+
+
+
+
=
8
4
8
4
)42(
2
3
22
x
x
dx
x
x
dxx
I
ò ò
+
+
+++=
++
+
+
++
++
= C
x
xx
x
xd
xx
xxd
2
2
arctg
2
1
)84ln(
2
3
4)2(
)2(
84
)84(
2
3
2
22
2
.
Пример 7.3.
ò
+
+
-
= dx
x
x
x
I
25
6
)57(
2
. Воспользуемся формулами
22)62(
2
5
57,62)256(
2
++-=-+=
¢
++ xxxxx
. Тогда
ò ò
=
++
+
++
+
-=
16)3(
22
256
)62(
2
5
22
x
dx
xx
dxx
I
.
4
3
arctg
2
11
)256ln(
2
5
2
C
x
xx +
+
+++-=
4. Для интеграла типа IV
ò
++
+
= dx
qpxx
DBx
I
l
)(
2
, где
2
³
l
,
qp 4
2
<
,
непосредственное интегрирование является столь громоздким, что
следует пользоваться справочником.
Интегрирование правильных дробей общего вида
Рассмотрим правильную дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
)
(
n
<
, которая не являетсяся
простейшей дробью. Чтобы проинтегрировать такую функцию, её нужно
представить в виде суммы простейших дробей.
Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей
осуществляется по следующему правилу.
1. Знаменатель
)(xQ
m
следует разложить на множители вида
k
ax )( -
и
r
qpxx )(
2
++
,

Страницы