Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34 35
где
1
,
³
r
k
, а
qp 4
2
<
. Заметим, что о
)(
2
qpxx ++
при условии
qp 4
2
<
на множители разложить нельзя.
2. Следует построить «общий вид» представления с неопределён-
ными пока коэффициентами. При этом каждому множителю
k
ax )( -
должна соответствовать сумма дробей
k
k
ax
A
ax
A
ax
A
)()(
2
21
-
++
-
+
-
K
, (7.3)
а каждому множителю
r
qpxx )(
2
++
должна соответствовать суммаа
дробей
r
rr
qpxx
DxB
qpxx
DxB
qpxx
DxB
)()(
222
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
K
, (7.4)
где коэффициенты
),,,1( kiA
i
K
=
jj
DB ,
)
,
,
1
(
r
j
K
=
пока неизвестны
и представлены буквами. В суммах (7.3) и (7.4) должны обязательно
присутствовать все перечисленные выше слагаемые (
k
слагаемых
в сумме (7.3) и
слагаемых в (7.4)). Общий вид представления содержит
в себе все суммы (7.3) и (7.4).
3. Следует определить коэффициенты представления, полученного
в пункте 2, исходя из тождественного равенства правильной дроби
и суммы простейших дробей, полученной в пункте 2.
Покажем на конкретных примерах, как пользоваться данным
правилом.
Пример 7.4.
ò
+
+
+
=
x
x
x
dxx
I
4
4
)25(
23
.
Применим сформулированное выше правило.
1. Разложим знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла, на
множители:
2223
)2()44(44 +=++=++ xxxxxxxx
.
2. Построим для дроби, стоящей под знаком интеграла, представ-
ление в виде суммы простейших дробей с неизвестными пока коэффи-
циентами
2
21
23
)2(
2
44
25
+
+
+
+=
++
+
x
B
x
B
x
A
xxx
x
. (7.5)
Множитель x имеет степень 1, и ему соответствует в сумме одно
слагаемое, множитель
)
2
(
+
x
имеет степень 2, и ему в сумме соответ-
ствуют два слагаемых.
3. Приведём правую часть равенства (7.5) к общему знаменателю.
Получим
2
21
2
23
)2(
)2()2(
44
25
+
++++
=
++
+
xx
xBxxBxA
xxx
x
. (7.6)
Равенство (7.6) должно выполняться при всех значениях
x
.
Поскольку знаменатели дробей, стоящих в левой и правой частях (7.6),
одинаковы, числители этих дробей должны быть тождественно равными.
Таким образом,
xBxxBxAx
2
1
2
)2()2(25 ++++=+
(7.7)
при всех значениях
x
. Чтобы определить
1
, BA
и
2
B
, подставим в (7.7)
три каких-либо значения
x
и получим систему трёх уравнений
относительно неизвестных
1
, BA
и
2
B
. Если представление правильной
дроби в виде суммы простейших дробей составлено правильно, то эта
система имеет единственное решение. Значения
x
обычно выбирают так,
чтобы расчёты были как можно более простыми. В нашем случае выгодно
выбрать
,2
1
-
=
x
0
2
=
x
и
1
3
-
=
x
. Последовательно подставляя эти
значения
x
в тождество (7.7), получим систему
ï
î
ï
í
ì
--=-
=
-
=
-
.3
;42
;28
21
2
BBA
A
B
(7.8)
Система (7.8) имеет решение:

Страницы