Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36 37
2
1
=A
;
4
2
=
B
;
2
1
1
-=B
.
Замечание. Если коэффициенты
1
, BA
,
2
B
найдены верно, то слеваа
и справа в (7.7) стоят одинаковые многочлены. Следовательно, их коэф-
фициенты при одинаковых степенях должны быть равны. Установим это
с помощью табл. 2.
Таблица 2
Коэффициенты при
степенях x
Слева
(7.7)
Справа (7.7)
2
x
0
0
1
=+ BA
x
5
541224
21
=+-=++ BBA
0
x
2
24 =A
Таким образом, коэффициенты найдены верно. Итак, мы получили
тождество
223
)2(
4
)1(2
1
2
1
44
25
+
+
+
-=
++
+
x
xx
xxx
x
.
Тогда
ò ò ò
+
+
-+-=
+
+
+
-= C
x
xx
x
dx
x
dx
x
dx
I
2
4
1ln
2
1
ln
2
1
)2(
4
12
1
2
1
2
.
Пример 7.5.
ò
+++
++
=
)54)(1(
)33(
2
2
xxx
dxxx
I
.
Представим дробь, стоящую под знаком интеграла, в виде суммы
простейших дробей. Так как оба множителя, стоящих в знаменателе,
имеют степень 1, представление будет иметь вид
54
1
)54)(1(
33
22
2
++
+
+
+
=
+++
++
xx
DBx
x
A
xxx
xx
. (7.9)
Заметим, что если в знаменателе стоит квадратный трёхчлен
(
)
54
2
++ xx
, то в числителе обязательно должен стоять многочлен первой
степени
)
(
D
Bx
+
.
Приводим правую часть (7.9) к общему знаменателю. Тогда
)54)(1(
)1)(()54(
)54)(1(
33
2
2
2
2
+++
+++++
=
+++
++
xxx
xDBxxxA
xxx
xx
,
откуда следует
)1)(()54(33
23
+++++=++ xDBxxxAxx
. (7.10)
Нужно определить три коэффициента
D
A
и
,
. Используем
удобные значения:
,1
1
-
=
x ,0
2
=
x
1
3
=
x
. Подставим их последовательно
в (7.10). Получим
ï
þ
ï
ý
ü
++=
+=
=
.22107
;53
;20
DBA
DA
A
(7.11)
Система (7.11) имеет решение:
2
1
=A
;
2
1
=B
;
2
1
=D
.
Проверим полученный результат по табл. 3.
Таблица 3
Коэффициенты при
степенях x
Слева (7.10) Справа (7.10)
2
x
1
1
2
1
2
1
=+=+ BA
x
3
3
2
1
2
1
24 =++=++ DBA
0
x
3
3
2
1
2
5
5 =+=+ DA
Получено тождество
)54(2
1
)1(2
1
)54)(1(
33
22
2
++
+
+
+
=
+++
++
xx
x
x
xxx
xx
.
Следовательно,
ò ò
+
+
+
+
+
=
5
4
)1(
2
1
12
1
2
x
x
dxx
x
dx
I
.

Страницы