Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40 41
)()()()( xRxMxQxP
mn
+
=
, (7.14)
где степень многочлена
)
(
x
R
меньше, чем степень многочлена
)(xQ
m
.
Представление (7.14) равносильно делению многочлена
)(xP
n
на
многочлен
)(xQ
m
с остатком. В формуле (7.14) многочлен
)
(
x
M
являетсяся
частным, а многочлен
)
(
x
R
– остатком. Затем равенство (7.14) следует
почленно поделить на
)(xQ
m
. Мы получим
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xM
xQ
xP
n
+=
.
Здесь
)(
)(
xQ
xR
– правильная дробь.
Представление (7.14) иногда легко угадать (если
)(xP
n
и
)(xQ
m
имеют достаточно простой вид), но, как правило, оно получается
в результате деления
)(xP
n
на
)(xQ
m
«уголком».
Приведём примеры.
Пример 7.7.
ò ò ò
=
+
+=
+
+
+
=
+
+
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
)
3
2
1(
3
2)3(
3
5
Cxx
x
dx
dx +++=
+
+=
ò ò
3ln2
3
2
.
Пример 7.8.
ò ò
=
+
-++
=
+
++
dx
x
xx
dx
x
xx
3
)23()3(2
3
432
2
2
2
2
òò
+-++=
+
-
+= C
x
xxdx
x
x
dx
3
arctg
3
2
)3ln(
2
3
2
3
23
2
2
2
.
Пример 7.9.
ò
+
+
++
= .
5
2
35
2
23
dx
x
x
xxx
I
Подынтегральная функция
является неправильной рациональной дробью. Разделим числитель этой
дроби на знаменатель с остатком.
;
158
1563
23
3
52
52
35
2
2
2
23
23
--
++
-
+
++
++
++
x
xx
xx
x
xx
xxx
xxx
(
)
(
)
( )
(
)
òòò
+
+
+
-+=
+
+
--+++
=
5
2
158
3
5
2
158352
22
2
x
x
dxx
dxxdx
x
x
xxxx
I
.
Вычислим отдельно
ò ò òò
=
++
+
++
++
=
++
++
=
++
+
4)1(
7
52
)52(
4
52
7)22(4
52
)158(
22
2
22
x
dx
xx
xxd
dx
xx
x
xx
dxx
C
x
xx +
+
+++=
2
1
arctg
2
7
)52ln(4
2
.
Окончательно
C
x
xxx
x
I +
+
-++-+=
2
1
arctg
2
7
)52ln(43
2
2
2
.
Пример 7.10.
ò
-
+
+
= dx
x
x
x
I
3
2
2
2
4
. Поделим числитель на знамена-
тель с остатком.
2320
21147
267
642
232
72
32
32
2
2
2
23
23
2
2
234
4
+-
-+
+-
+--
++-
+-
-+
-+
+
x
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
x
ò ò ò
-+
-
-+-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
-
-+-= dx
xx
x
dxxxdx
xx
x
xxI
32
2320
)72(
32
2320
72
2
2
2
2
.

Страницы