Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42 43
Вычислим отдельно
dx
x
x
x
I
ò
-
+
-
=
3
2
2320
2
1
. Разложим правильную
дробь на простейшие дроби.
13)1)(3(
2320
32
2320
2
-
+
+
=
-+
-
=
-+
-
x
B
x
A
xx
x
xx
x
.
)
3
(
)
1
(
23
20
+
+
-
=
-
x
x
A
x
.
Подставим в полученное тождество последовательно значения
переменной
3
,
1
-
=
=
x
x
. Тогда
ï
î
ï
í
ì
=
-=
Û
þ
ý
ü
-=-
=-
.
4
83
4
3
483
43
A
B
A
B
Получим
ò ò
-
-
+
= dx
x
dx
x
I
)1(4
3
)3(4
83
1
.
Окончательно
Cxxxx
x
I +-++-+-= 1ln
4
3
3ln
4
83
7
3
2
3
.
8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Интегрирование произведений синусов и косинусов различных
аргументов
Для вычисления интегралов этого типа нужно последовательно
осуществлять преобразование произведений пар тригонометрических
функций в суммы пар тригонометрических функций согласно формулам:
( )( )
)),cos()(cos(
2
1
coscos
,)sin(sin
2
1
cossin
b-a+b+a=ba
b-a+b+a=ba
))cos()(cos(
2
1
sinsin b+a-b-a=ba
.
Приведём примеры.
Пример 8.1.
ò ò
=-+= dxxxxdxx ))sin(3(sin
2
1
2cossin
Cxxdxxx ++-=-=
ò
cos
2
1
3cos
6
1
)sin3(sin
2
1
.
Пример 8.2.
ò ò
=+= xdxxxxdxxx 2sin)2cos4(cos
2
1
3cos2sincos
ò ò
=+= xdxxxdxx 2sin2cos
2
1
2sin4cos
2
1
ò ò
=+-= xdxdxxx 4sin
4
1
)2sin6(sin
4
1
Cxxx +-+-= 4cos
16
1
2cos
8
1
6cos
24
1
.
Пример 8.3.
ò
=+ dxx
x
)12cos(
2
cos
Cxxdx
xx
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
ò
1
2
3
sin
3
1
1
2
5
sin
5
1
1
2
3
cos1
2
5
cos
2
1
.
II.
ò
sin x cos xdx
Здесь следует выделить два случая:
1) одно из чисел:
n
m
или
является целым, положительным, не-
четным;
2) оба числа
n
m
и
являются целыми, неотрицательными
(
0
22
¹
+
n
m
), чётными.
В случае 1 нужно выделить из нечетной степени
xx
nm
cos или sin
один множитель (соответственно
x
x
cos
или
sin
) и объединить этотт
множитель с дифференциалом
dx
. Далее, нужно выразить подынтеграль-
ное выражение только через
x
cos
или только через
x
sin
, воспользовав-
шись тем, что
x
d
dx
x
cos
sin
-
=
,
x
d
xdx
sin
cos
=
, а
1
cos
sin
22
=
+
x
x
.

Страницы