Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46 47
При этом следует учесть, что
( ) ( )
.
sin
ctgа,
cos
tg
22
x
dx
xd
x
dx
xd -==
Пример 8.11.
.tg
cos
1
cos
1
tg
22
2
Cxxdx
x
dx
dx
x
xdx +-=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
òòòò
Пример 8.12.
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
òòòò
xdx
x
xdx
dx
x
xxdx ctg
sin
ctg
1
sin
1
ctgctg
22
3
.sinln
2
ctg
ctgctgctg
2
Cx
x
xdxxxd +--=--=
ò ò
Пример 8.13.
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=×=
òòò
dx
x
xxdxxxdx 1
cos
1
tgtgtgtg
2
2224
.tg
3
tg
)tg(
3
tg
tgtgtg
33
22
Cxx
x
Cxx
x
xdxxxd ++-=+--=-=
ò ò
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Рассмотрим интегралы вида
.
2
ò
++
dx
cbxax
BAx
Чтобы вычислить этот интеграл, следует вычислить производную
подкоренного выражения:
.2)(
2
baxcbxax +=
¢
++
Затем в числителе подынтегральной функции следует выделить эту
производную, поделив «уголком» числитель на полученную производ-
ную, т. е. представить числитель в виде суммы двух слагаемых:
).
2
()2(
2
a
Ab
Bbax
a
A
BAx -++=+
Тогда
.)
2
(
)2(
2
222
òòò
++
-+
++
=
++
cbxax
dx
a
Ab
B
cbxax
dxbax
a
A
dx
cbxax
BAx
(9.1)
Рассмотрим каждый из интегралов, стоящих в правой части (9.1),
отдельно.
а)
.
)2(
2
ò
+
+
+
=
c
bx
ax
dxbax
I
Положим
c
bx
ax
z
2
. Тогдада
CcbxaxCz
z
dz
I +++=+==
ò
2
22
;
б)
.
42
2
22
òò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
++
a
b
c
a
b
xa
dx
cbxax
dx
(9.2)
Здесь в подкоренном выражении выделен полный квадрат.
В результате правая часть равенства (9.2) приведена к табличному
интегралу. Если
0
>
a
, это интеграл типа (3.16) из табл. 1, если
0
a
–
интеграл типа (3.14).
Пример 9.1.
ò
+
+
+
=
10
8
4
)25(
2
x
x
dxx
I
. Воспользуемся формулами
(
)
881084
2
+=
¢
++ xxx
,
( )
388
8
5
25 -+=+ xx
. Тогдада
òò
=
-
=
10
8
4
3
10
8
4
)88(
8
5
22
x
x
dx
x
x
dxx
I

Страницы