Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44 45
Приведём примеры.
Пример 8.4.
ò
ò
=== dxxxxdxxxI ))(sincos(sincossin
2223
ò
--= .coscos)cos1(
22
xdxx
Сделаем замену переменной
x
z
cos
=
. Получим
ò
ò
=-=--= dzzzdzzzI )()1(
2422
C
xx
C
zz
+-=+-=
3
cos
5
cos
3
5
3535
.
Пример 8.5.
ò ò
+== C
x
xdxdxxx
12
sin
sinsinsincos
12
1111
.
Пример 8.6.
===
ò
ò
dxxxxdxxxI )(cossincossincos
3
4
3
5
.sinsin)sin1(
3
22
ò
×-= xdxx
Введем новую переменную
x
z
sin
=
.
Тогда
=+-=×-=
ò
ò
dzzzzdzzzI )2()()1(
3
13
3
7
3
1
3
22
=++×-= Czzz
3
16
3
10
3
4
3
3
2
4
3
.)(sin
3
)(sin
5
3
)(sin
4
3
3
16
3
10
3
4
Cxxx ++-=
Заметим, что если обе степени m и n положительные и нечетные,
то отделять множитель выгодно от степени с меньшим показателем.
Пример 8.7.
=×=
ò
ò
dxxxxdxxx cossincossincos
7273
.
10
sin
8
sin
sinsin)sin1(
108
72
C
xx
xdxx +-=-=
ò
В случае 2 нужно воспользоваться формулами
,
2
2sin
cossin
;
2
2cos1
cos
;
2
2cos1
sin
2
2
a
=aa
a+
=a
a
-
=a
позволяющими понизить степень функций, входящих в подынтегральное
выражение.
Пример 8.8.
.2sin
4
1
2
1
)2cos1(
2
1
cos
2
Cxxdxxxdx ++=+=
òò
Пример 8.9.
=+-=-=
òòò
dxxxdxxxdx )2cos2cos21(
4
1
)2cos1(
4
1
sin
224
.4sin
1
2sin
4
1
8
3
)4cos1(
8
1
2sin
4
1
4
1
Cxxxdxxxx ++-=++-=
ò
Пример 8.10.
==
ò
ò
xdxxxxdxx
2242
cos)cos(sincossin
.2sin
1
4sin
1
1
2sin2sin
1
)4cos–(1
1
2cos2sin
8
1
2sin
8
1
)2cos(12sin
8
1
cos2sin
4
1
32
22
222
Cxxxxdxdxx
xdxxxdx
dxxxdxxx
++-=+=
=+=
=+==
ò ò
òò
òò
III.
ò
tg
n
xdx,
ò
ctg
n
xdx (n
=
1, 2, …)
Ранее уже были найдены
.sinlnctg
,coslntg
Cxxdx
Cxxdx
+=
+-=
ò
ò
Для вычисления интегралов от прочих натуральных степеней фун-
кций
x
tg
и
x
ctg
следует воспользоваться формулами
1
sin
1
ctgи1
cos
1
tg
2
2
2
2
-=-=
x
x
x
x
,
соответственно записав предварительно интегрируемые функции в виде
.ctgctgctg
;tgtgtg
22
22
xxx
xxx
nn
nn
×=
×=
-
-

Страницы