Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 39
Отдельно вычислим
ò
+
+
+
=
5
4
)1(
2
1
x
x
dxx
I
, используя формулы
1)42(
2
1
1,42)54(
2
-+=++=
¢
++ xxxxx
,
òò
=
+
+
-
+
+
+
=
5
4
5
4
)42(
2
1
22
1
x
x
dx
x
x
dxx
I
ò ò
++-++=
++
+
-
++
++
= Cxxx
x
xd
xx
xxd
)2(arctg)54(ln
2
1
1)2(
)2(
54
)54(
2
1
2
22
2
.
Итак,
CxxxxI ++-++++= )2(arctg
2
1
)54ln(
4
1
1ln
2
1
2
.
Пример 7.6.
ò
+-+
+
=
)1)(32(
)13(
22
xxx
dxx
I
.
Разлагаем знаменатель на множители:
)1)(3)(1()1)(32(
222
++-=+-+ xxxxxx
.
Выписываем общий вид представления дроби в виде суммы
простейших дробей и сразу же приводим сумму дробей к общему
знаменателю:
=
+
+
+
+
+
-
=
+-+
+
1
31
)1)(32(
)13(
222
x
DEx
x
B
x
A
xxx
dxx
)1)(3)(1(
)3)(1)(()1)(1()1)(3(
2
22
++-
+-+++-+++
=
xxx
xxDExxxBxxA
.
Составляем равенство числителей двух равных дробей с одинако-
выми знаменателями:
)3)(1)(()1)(1()1)(3(13
22
+-+++-+++=+ xxDExxxBxxAx
. (7.12)
Выбираем удобные значения
x
:
,1
1
=
x
,3
2
-
=
x
0
3
=
x
,
1
4
-
=
x
и составляем систему уравнений для определения четырёх
коэффициентов:
D
E
A
,
,
,
.
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
-+-=-
--=
-=-
=
.44442
;331
;408
;84
DEBA
DBA
B
A
(7.13)
Решаем систему (7.13):
,
5
1
,
2
1
== BA
10
1
)
2
3
5
1
1(
3
1
)31(
3
1
=+--=+--= ABD
,
10
7
)
5
1
5
2
11(
2
1
)2221(
2
1
-=++--=++--= DBAE
.
Проверим полученные значения согласно табл. 4.
Таблица 4
Коэффициенты
при степенях x
Слева
(7.12)
Справа (7.12)
3
x
0
0
10
7
10
2
10
5
=-+=++ EBA
2
x
0
0
10
14
10
1
10
2
10
15
23 =-+-=++- EDBA
x
3
3
10
2
10
21
10
2
10
5
23 =+++=+-+ DEBA
0
x
1
1
10
3
10
2
10
15
33 =--=-- DBA
Таким образом,
ò ò ò
=
+
-
+
+
+
-
= dx
x
x
x
dx
x
dx
I
1
71
10
1
35
1
12
1
2
Cxxxx ++-+++-= )1ln(
20
7
arctg
10
1
3ln
5
1
1ln
2
1
2
.
Интегрирование неправильных дробей
Чтобы проинтегрировать неправильную дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
, где
m
n
³
, её
следует представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для
этого сначала следует представить
)(xP
n
в виде

Страницы