Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
ся
dx
x
a
. В интегралах типов V, VI в качестве
)
(
x
u
принимается обрат-т-
ная тригонометрическая функция, а в качестве
)
(
x
dv
принимается
dx
x
m
.
Приведем примеры интегрирования по частям.
Пример 6.1.
ò
=
dxxI ln . Положим
dx
dv
x
u
=
=
ln
. Получим
xv
x
dx
du == ,
. Тогда
ò
+
-
=
-
=
CxxxdxxxI lnln .
Пример 6.2.
ò
=
xdxI arcsin . Положим
dx
dv
x
u
=
=
arcsin
.
Получим
xv
x
dx
du =
-
= ,
1
2
.
Тогда
.1arcsin
1
)1(
2
1
arcsin
1
arcsin
2
2
2
2
Cxxx
x
xd
xx
x
xdx
xxI
+-+=
=
-
-
+=
-
-=
òò
Пример 6.3.
ò
=
xdxI arctg
. Положим
dx
dv
x
u
=
=
arctg
.
Получим
xv
x
dx
du =
+
= ,
1
2
.
Тогда
.)1ln(
2
1
arctg
1
)1(
2
1
arctg
1
arctg
2
2
2
2
Cxxx
x
xd
xx
x
xdx
xxI
++-=
=
+
+
-=
+
-=
òò
Пример 6.4.
ò
= xdxxI ln
3
. Полагаем
dxxdvxu
3
,ln ==
.
Получим
3
4
4
3
, xv
x
dx
du ==
.
Тогда
CxxxdxxxxI +-=-=
ò
3
4
3
4
3
1
3
4
16
9
ln
4
3
4
3
ln
4
3
.
Пример 6.5.
ò
-
= dxexI
x 232
. Положим
dxedvxu
x 232
,
-
==
.
Найдём
2323
3
1
,2
--
ò
===
xx
edxevxdxdu
. Получим
dxxexeI
xx
ò
--
-=
23223
3
2
3
1
.
Снова интегрируем по частям. Положим
dxedvxu
x 23
1
1
,
-
==
.
Получим
23
11
3
1
,
-
==
x
evdxdu
.
Тогда
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
--=
----
ò
2322323223
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
xxxx
exdxexexeI
Cexeexdxexe
xxxxx
++-=+-
-----
ò
23232322323
27
2
9
2
3
1
9
2
9
2
.
Пример 6.6.
ò
= xdxI
2
ln
. Положим
dxdvxu == ,ln
2
.
Вычислим
xvdx
x
x
du == ,
ln2
. Тогда
ò
-= xdxxxI ln2ln
2
.
Интеграл
ò
xdxln вычислен в примере 6.1. Получим
C
x
x
x
x
x
I
+
+
-
=
2
ln
2
ln
2
.
Пример 6.7.
ò
= dx
x
x
I
2
cos
. Положим
x
dx
dvxu
2
cos
, ==
.
Получим
ò
=== x
x
dx
vdxdu tg
cos
,
2
.
Тогда
CxxxxdxxxI
+
+
=
-
=
ò
coslntgtgtg
.
Пример 6.8.
ò
= dx
x
x
I
3
ln
. Положим
3
,ln
x
dx
dvxu ==
. Получим
ò
-===
-
2
3
2
1
,
x
dxxv
x
dx
du
.

Страницы