Неопределенный интеграл. Смирнова В.Б - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
III. Формирование под знаком дифференциала линейного
выражения ax + b.
Теорема 5. Пусть известно, что
CxFdxxf +=
ò
)()(
, т. е.
)
(
)
(
x
f
x
F
=
¢
.
Тогда
,)(
1
)( CbaxF
a
dxbaxf ++=+
ò
(4.3)
где a и b – числа.
Доказательство. Как обычно, продифференцируем правую часть
формулы (4.3) и покажем, что ее производная равна подынтегральной
функции, стоящей в левой части. Отметим, что функция
)
(
ax
F
+
явля-
ется сложной функцией аргумента
x
и её можно представить в виде
.
)
(
где
)),
(
(
)
(
b
ax
x
z
x
z
F
b
ax
F
+
=
=
+
Тогда справедлива цепочка равенств
(
)
.))(()())(())(()( baxfaaxzfxzxzFxzFbaxF
zxx
+
=
×
=
¢
×
¢
=
¢
=
+
¢
Следовательно,
( ) ( )( ) ( )
).(
111
baxfbaxfa
a
baxF
a
baxF
a
+=+××=
¢
+=
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
Теорема 5 доказана.
Заметим, что формулу (4.3) можно получить, введя под знаком
интеграла новую переменную
ax
z
+
=
. При этом следует помнить, чтоо
adx
ax
d
dz
=
+
=
)
(
.
Выражая
dx
из правой части этого равенства, получим
.
1
dz
a
dx =
Итак, установим цепочку равенств:
( ) ( )( )
1
baxdbaxf
a
dxbaxf =++=+
òò
( )
.
1
)(
1
)(
1
CbaxF
a
CzF
a
dzzf
a
++=+==
ò
(4.4)
Именно цепочкой (4.4) и удобно пользоваться, вычисляя конкрет-
ные интегралы. При этом введение новой переменной можно опускать,
переходя сразу к последнему равенству.
Пример 4.10.
( ) ( )
òò
++=+= ).25(25sin
5
1
25sin xdxdxxI
Введём
новую переменную
+
=
x
z
.
Тогда
.)25cos(
1
cos
1
sin
1
CxCzzdzI ++-=+-==
ò
Проверка:
( )
).25sin(5)25sin(
5
1
)25cos(
5
1
+=×+-×-=
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
+- xxx
Пример 4.11.
òò
-
-
-=
-
=
x
xd
x
dx
I
7
3
)73(
7
1
7
3
. Введём новую перемен-
ную
x
z
7
3
-
=
. Тогда
CxCz
z
dz
I +--=+-=-=
ò
73ln
7
1
ln
7
1
7
1
.
Пример 4.12.
Cxddx
x
xx
+==
òò
3
ln
2
3
)2(3
2
1
3
2
22
,
(см. пример 3.13).
Пример 4.13.
C
x
x
xd
x
dx
+=
+
=
+
òò
3
2
arctg
6
1
9)2(
)2(
2
1
94
22
,
(см. пример 4.2).
В примерах 4.14 и 4.15 подынтегральные функции предварительно
представим в таком виде, чтобы можно было применить к ним таблицу
интегралов.

Страницы